《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

一般地,如果 $A$,$B$ 两个整式,$A÷ B$ 可表示成 $\frac{A}{B}$ 的形式。若B中含有字母,那么称$\frac{A}{B}$叫做分式。其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。对于任意一个分式,分母都不能为零(或 0)。例如：$\frac{6}{x}$,$\frac{x + x^{2}}{x}$,$\frac{a^{2}-b^{2}}{a + b}$ 都是分式。

答案： 整式 B $\frac{A}{B}$ A B 零(或 0)

2. 分式的特殊值
(1) 分式有意义的条件：分母≠0。
(2) 分式无意义的条件：分母=0。
(3) 分式值为 $0$ 的条件：分子=0 且分母≠0。
(4) 分式值为 $1$ 的条件：分子=分母且分母≠0。
例如：对于分式 $\frac{x^{2}-4}{x + 2}$,当 $x + 2\neq0$,即 $x\neq - 2$ 时,分式有意义；当 $x + 2 = 0$,即 $x = - 2$ 时,分式无意义；当 $x^{2}-4 = 0$ 且 $x + 2\neq0$,即 $x = 2$ 时,分式值为 $0$。

答案：
(1)分母≠0
(2)分母=0
(3)分子=0 且分母≠0
(4)分子=分母且分母≠0

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。用字母表示是 $\frac{a}{b}= \frac{a\cdot m}{b\cdot m}$,$\frac{a}{b}= \frac{a÷ m}{b÷ m}$,$(m\neq0)$。
分式符号法则：$-\frac{a}{b}= \frac{-a}{b}= \frac{a}{-b}= \frac{-a}{-(-b)}$。
例如：$\frac{-x + y}{-x - y}= \frac{-(x - y)}{-(x + y)}= \frac{x - y}{x + y}$。

答案： 都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变

4. 约分和最简分式
(1) 约分：根据分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去,叫做分式的约分。例如,$\frac{x^{3}-2x^{2}y}{x^{2}y - 2xy^{2}}= \frac{x^{2}(x - 2y)}{xy(x - 2y)}= \frac{x}{y}$。
(2) 最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。例如,$\frac{x}{x + y}$,$\frac{a^{2}+b^{2}}{a + b}$。
化简分式时,通常要使结果为最简分式或整式。

答案：
(1)分子和分母的公因式约去
(2)分子和分母没有公因式 最简分式 整式

例题1 下列各式中,哪些是整式？哪些是分式？
(1) $\frac{m + n}{8}$；(2) $\frac{5}{x + 2}$；(3) $3y^{2}-2$；(4) $\frac{a + b}{a - b}$；(5) $\frac{20}{\pi}$；(6) $\frac{x + y}{xy}$；(7) $2x-\frac{y}{5}$；(8) $\frac{x^{2}}{x}$。
 

答案： 【解析】：根据整式和分式的定义来判断。整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。分式的定义是如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子A / B 就叫做分式。对于（1）$\frac{m + n}{8}=\frac{m}{8}+\frac{n}{8}$，分母为常数8，是多项式，属于整式；对于（2）$\frac{5}{x + 2}$，分母中有字母$x$，是分式；对于（3）$3y^{2}-2$，是多项式，属于整式；对于（4）$\frac{a + b}{a - b}$，分母中有字母$a$和$b$，是分式；对于（5）$\frac{20}{\pi}$，$\pi$是一个常数，分母为常数，是单项式，属于整式；对于（6）$\frac{x + y}{xy}$，分母中有字母$x$和$y$，是分式；对于（7）$2x-\frac{y}{5}$，是多项式，属于整式；对于（8）$\frac{x^{2}}{x}$，分母中有字母$x$，是分式。
【答案】：整式有
(1),
(3),
(5),
(7)；分式有
(2),
(4),
(6),
(8)

1. 在式子 $\frac{1}{a}$,$\frac{2xy}{\pi - 1}$,$\frac{5}{6x}$,$\frac{x}{7}+\frac{y}{8}$,$10xy^{-2}$,$\frac{x^{2}}{x}$,$9x+\frac{10}{y}$ 中,分式的个数是(B)
A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$

答案： B

谁更聪明小洪早晨骑自行车上学,每天在江北大道都能遇到许多43路公共汽车,公共汽车都按相同的时间间隔发车.小洪曾做过一次有趣的观察试验:当他以不变的速度骑行时,每隔15分钟就有一辆43路公交车从背后开过,而每隔10分钟就有一辆43路公交车迎面驶来.究竟43路公交车间隔多长时间发出一辆呢?小洪终于算出来了﹐向43路公交车的司机一问，果然不错．你知道43路公交车发车的时间间隔是多长吗?
解：设$43$路公交车的速度是$v_{车}$，小洪骑自行车的速度是$v_{人}$，以两辆相邻公交车之间的距离为等量可得：
$15(v_{车}-v_{人}) = 10(v_{车}+v_{人})$
$15v_{车}-15v_{人}=10v_{车}+10v_{人}$
$15v_{车}-10v_{车}=10v_{人}+15v_{人}$
$5v_{车}=25v_{人}$
$v_{车}=5v_{人}$
那么两辆公交车之间的距离为：$15(v_{车}-v_{人}) = 15×(5v_{人}-v_{人}) = 15×4v_{人}=60v_{人}$
所以$43$路公交车发车的时间间隔$t=\dfrac{60v_{人}}{v_{车}}=\dfrac{60v_{人}}{5v_{人}} =$$12$（分钟）
答：$43$路公交车发车的时间间隔是$12$分钟。

答案： 解：设$43$路公交车的速度是$v_{车}$，小洪骑自行车的速度是$v_{人}$，以两辆相邻公交车之间的距离为等量可得：
$15(v_{车}-v_{人}) = 10(v_{车}+v_{人})$
$15v_{车}-15v_{人}=10v_{车}+10v_{人}$
$15v_{车}-10v_{车}=10v_{人}+15v_{人}$
$5v_{车}=25v_{人}$
$v_{车}=5v_{人}$
那么两辆公交车之间的距离为：$15(v_{车}-v_{人}) = 15×(5v_{人}-v_{人}) = 15×4v_{人}=60v_{人}$
所以$43$路公交车发车的时间间隔$t=\dfrac{60v_{人}}{v_{车}}=\dfrac{60v_{人}}{5v_{人}} = 12$（分钟）
答：$43$路公交车发车的时间间隔是$12$分钟。