《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

3. 如果 $ ( x + 4 ) ( x - 3 ) $是 $ x ^ { 2 } - m x - 12 $的因式,那么m是(D)
A.7
B.-7
C.1
D.-1

答案： D

4. 若多项式 $ x ^ { 2 } + 6 x + k $可以分解为 $ ( x + 2 ) \cdot ( x + 4 ) $,则 $ k = $8。

答案： 8

5. 如果 $ x ^ { 2 } + A x + B = ( x - 3 ) ( x + 5 ) $,求 $ 3 A - B $的值。

答案： 解：
∵$(x - 3)(x + 5) = x^{2} + 2x - 15$，
∴$x^{2} + Ax + B = x^{2} + 2x - 15$。
∴$A = 2$，$B = - 15$。
∴$3A - B = 3×2 - (- 15) = 21$。

例题3 $ 3 ^ { 2020 } - 4 × 3 ^ { 2019 } + 10 × 3 ^ { 2018 } $能被7整除吗？试说明理由。
 

答案： 【解析】：要判断$3^{2020}-4×3^{2019}+10×3^{2018}$能否被$7$整除，可通过提取公因式$3^{2018}$对原式进行变形。根据同底数幂乘法法则$a^m× a^n=a^{m + n}$，$3^{2020}=3^{2018}×3^{2}$，$3^{2019}=3^{2018}×3$，则原式可化为$3^{2018}×(3^{2}-4×3 + 10)$，计算括号内的值为$9 - 12 + 10 = 7$，即原式变形为$3^{2018}×7$。因为一个数能被另一个数整除的定义是若整数$a$除以非零整数$b$，商为整数，且余数为零，这里$3^{2018}×7÷7 = 3^{2018}$，商是整数，所以$3^{2020}-4×3^{2019}+10×3^{2018}$能被$7$整除。
【答案】：能被7整除。理由：$\because 3^{2020}-4×3^{2019}+10×3^{2018}=3^{2018}×(3^{2}-4×3 + 10)=3^{2018}×7$，$\therefore 3^{2020}-4×3^{2019}+10×3^{2018}$能被$7$整除。

6. $ 2020 ^ { 2 } + 2020 $能被2021整除吗？

答案： 解：
∵$2020^{2} + 2020 = 2020×(2020 + 1) = 2020×2021$，
∴$2020^{2} + 2020$能被 2021 整除。

7. 试探究 $ 81 ^ { 7 } - 27 ^ { 9 } - 9 ^ { 13 } $能被45整除吗？

答案： 解：$81^{7} - 27^{9} - 9^{13}$
$=(3^{4})^{7} - (3^{3})^{9} - (3^{2})^{13}$
$=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}$
$=3^{26}×3^{2} - 3^{26}×3 - 3^{26}$
$=3^{26}×(3^{2} - 3 - 1)$
$=3^{26}×5$
$=3^{24}×45$。
∴$81^{7} - 27^{9} - 9^{13}$能被 45 整除。

1. (2023·济宁)下列各式从左到右的变形,因式分解正确的是(C)
A.$ ( a + 3 ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 6 a + 9 $
B.$ a ^ { 2 } - 4 a + 4 = a ( a - 4 ) + 4 $
C.$ 5 a x ^ { 2 } - 5 a y ^ { 2 } = 5 a ( x + y ) ( x - y ) $
D.$ a ^ { 2 } - 2 a - 8 = ( a - 2 ) ( a + 4 ) $

答案： C

2. 计算 $ 16.6 × \frac { 1 } { 8 } + 15.4 × \frac { 1 } { 8 } $的结果是(C)
A.4.2
B.4.12
C.4
D.4.1

答案： C

3. 若关于x的二次三项式 $ x ^ { 2 } + k x + b $因式分解为 $ ( x - 1 ) ( x - 3 ) $,则 $ k + b $的值为(B)
A.-2
B.-1
C.0
D.1

答案： B

4. 若k为任意整数,且 $ 99 ^ { 3 } - 99 $能被k整除,则k不可能是(D)
A.100
B.99
C.98
D.97

答案： D

5. 如果一个多项式因式分解的结果是 $ ( b ^ { 3 } + 2 ) ( 2 - b ^ { 3 } ) $,那么这个多项式是____$4 - b^{6}$。
注：原答案有误，根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，$(b^{3}+2)(2 - b^{3})=(2 + b^{3})(2 - b^{3})=2^{2}-(b^{3})^{2}=4 - b^{6}$。

答案： $4 - b^{5}$

6 代数式 $ 2 ^ { 2022 } + 2 ^ { 2021 } - 2 ^ { 2020 } $能被5整除吗？为什么？

答案： 解：能被 5 整除. 理由如下：
∵$2^{2022} + 2^{2021} - 2^{2020}$
$=2^{2020}(2^{2} + 2 - 1)$
$=2^{2020}×5$
∵$2^{2020}×5$能被 5 整除，
∴代数式$2^{2022} + 2^{2021} - 2^{2020}$能被 5 整除。

7. 在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为 $ 2 ( x - 1 ) ( x - 9 ) $,乙同学因看错了常数项而将其分解为 $ 2 ( x - 2 ) ( x - 4 ) $,试将正确的二次三项式写出来。

答案： 解：$2(x - 1)(x - 9) = 2(x^{2} - 10x + 9) = 2x^{2} - 20x + 18$，因为甲同学看错了一次项系数，所以原多项式中不含$-20x$，含有$2x^{2}$，18；$2(x - 2)(x - 4) = 2(x^{2} - 6x + 8) = 2x^{2} - 12x + 16$，因为乙同学看错了常数项，所以原多项式中不含 16，含有$2x^{2}$，$-12x$，所以原多项式为$2x^{2} - 12x + 18$。