《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

1. (四川中考)下列四个选项中不是命题的是 (B)
A.对顶角相等
B.过直线外一点作直线的平行线
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.如果$a = b$,$a = c$,那么$b = c$

答案： B

2. (2024·江苏模拟)判断命题“如果$n ＜ 1$,那么$n^{2}-1 ＜ 0$”是假命题,只需举出一个反例. 反例中的$n$可以为 (A)
A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$0$
D.$\frac{1}{2}$

答案： A

3. “两条直线相交,只有一个交点”的条件是 (C)
A.两条直线
B.相交
C.两条直线相交
D.交点

答案： C

4. (北京中考)用三个不等式$a ＞ b$,$ab ＞ 0$,$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为 (D)
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： D

5. 下列命题,是定理的是 (C)
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.三角形三个内角的和是$180^{\circ}$
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行

答案： C

6. (2023·无锡二模)能说明命题“两个无理数$a$,$b$的和一定是无理数”是假命题的一组$a$,$b$的值可以是$ a = \sqrt { 3 } $，$ b = - \sqrt { 3 } $（答案不唯一）.

答案： $ a = \sqrt { 3 } $，$ b = - \sqrt { 3 } $（答案不唯一）

7. 命题“内错角相等”的条件是两个角是内错角,结论是这两个角相等,它是假(“真”或“假”)命题.

答案： 两个角是内错角 这两个角相等 假

8. (北京中考)用一组$a$,$b$,$c$的值说明命题“若$a ＜ b$,则$ac ＜ bc$”是错误的,这组值可以是$a = $1,$b = $2,$c = $ -1.

答案： 1 2 -1（答案不唯一）

9. 已知三条不同的直线$a$,$b$,$c$在同一平面内,下列四个命题：①如果$a // b$,$a \perp c$,那么$b \perp c$；②如果$b // a$,$c // a$,那么$b // c$；③如果$b \perp a$,$c \perp a$,那么$b \perp c$；④如果$b \perp a$,$c \perp a$,那么$b // c$. 其中真命题是______.(填写所有真命题的序号)
9. 已知三条不同的直线$a$,$b$,$c$在同一平面内,下列四个命题：①如果$a // b$,$a \perp c$,那么$b \perp c$；②如果$b // a$,$c // a$,那么$b // c$；③如果$b \perp a$,$c \perp a$,那么$b \perp c$；④如果$b \perp a$,$c \perp a$,那么$b // c$. 其中真命题是①②④.(填写所有真命题的序号)

答案： ①②④

10. 将下列命题写成“如果……那么……”的形式,然后指出命题的条件和结论：
(1)等角的补角相等；
(2)等腰三角形的两个底角相等；
(3)角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

答案： 【解析】：
(1)首先分析“等角的补角相等”这个命题，它描述的是在两个角相等的情况下，它们的补角的关系。所以写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等。其中“两个角是等角的补角”是这个命题成立的前提条件，“这两个角相等”是在满足前面条件下得出的结果，即结论。
(2)对于“等腰三角形的两个底角相等”，其核心是围绕等腰三角形的角的特征。写成“如果……那么……”的形式是：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。这里“一个三角形是等腰三角形”是条件，限定了讨论的对象是等腰三角形，“它的两个底角相等”是在该三角形为等腰三角形这个条件下的必然结论。
(3)“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”这个命题，是关于角平分线和点到角两边距离的关系。写成“如果……那么……”的形式为：如果一个点在角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等。“一个点在角的平分线上”是条件，明确了点的位置特征，“这个点到这个角两边的距离相等”是在点满足在角平分线上这个条件时所具有的性质，即结论。
【答案】：
(1)如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；条件：两个角是等角的补角；结论：这两个角相等。
(2)如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等；条件：一个三角形是等腰三角形；结论：它的两个底角相等。
(3)如果一个点在角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等；条件：一个点在角的平分线上；结论：这个点到这个角两边的距离相等。

11. 举反例说明下列命题是假命题.
(1) 相等的角是对顶角；
答：如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角。
(2) 若$a^{2} = b^{2}$,则$a = b$.
答：当$a = 2$，$b = - 2$时，$a^{2}=b^{2}=4$，但$a\neq b$。

答案： 【解析】：
(1) 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。我们可以通过构建一个具体的场景来举反例。比如在一个等腰三角形中，两个底角是相等的，但它们显然不是对顶角。因为对顶角是两条相交直线形成的相对的角，而等腰三角形的两个底角是三角形内角的关系，并非对顶角的关系。
(2) 对于命题“若$a^{2}=b^{2}$，则$a = b$”，我们知道一个数的平方等于另一个数的平方，这两个数可能相等也可能互为相反数。例如当$a = 2$，$b=-2$时，$a^{2}=2^{2}=4$，$b^{2}=(-2)^{2}=4$，满足$a^{2}=b^{2}$，但$a\neq b$，所以该命题是假命题。
【答案】：
(1) 如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角。
(2) 当$a = 2$，$b = - 2$时，$a^{2}=b^{2}=4$，但$a\neq b$。

12. 如图所示,在$\triangle AEC和\triangle DFB$中,$\angle E = \angle F$,点$A$,$B$,$C$,$D$在同一直线上,有如下三个关系式：①$AE // DF$,②$AB = CD$,③$CE = BF$.
(1)请用其中两个关系式作为条件,另一个作为结论,写出你认为正确的所有命题；(用序号写出命题书写形式：“如果ⓧⓧ,那么ⓧ”).
命题 1：如果①②，那么③；
命题 2：如果①③，那么②.
(2)选择(1)中你写出的一个命题,说明它正确的理由.
以命题 1 为例说明理由：
∵ $ AE // DF $，
∴ $ ∠A = ∠D $.
∵ $ AB = CD $，
∴ $ AB + BC = CD + BC $，即 $ AC = DB $.
在 $ △AEC $ 和 $ △DFB $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { ∠E = ∠F, } \\ { ∠A = ∠D, } \\ { AC = DB, } \end{array} \right. $
∴ $ △AEC ≌ △DFB ( AAS ) $.
∴ $ CE = BF $（全等三角形对应边相等）.

答案： 解：（1）命题 1：如果①②，那么③；
命题 2：如果①③，那么②.
（2）命题 1 的证明：
∵ $ AE // DF $，
∴ $ ∠A = ∠D $.
∵ $ AB = CD $，
∴ $ AB + BC = CD + BC $，即 $ AC = DB $.
在 $ △AEC $ 和 $ △DFB $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { ∠E = ∠F, } \\ { ∠A = ∠D, } \\ { AC = DB, } \end{array} \right. $
∴ $ △AEC ≌ △DFB ( AAS ) $.
∴ $ CE = BF $（全等三角形对应边相等）.