《2025年轻松暑假复习加预习中国海洋大学出版社七年级数学鲁教版54制》

多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.

答案： 相同因式

2. 提取公因式法
(1)定义
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将____多项式____化成两个____因式____乘积的形式,这种因式分解的方法叫____提公因式法____.
(2)确定公因式的方法
①取各项系数的____最大公约数____作为公因式的系数；
②取各项相同的字母因式；
③取相同字母因式的____最低____指数作为字母因式的指数.
(3)提取公因式法的一般步骤
①找出多项式中各项的____公因式____；
②提出这个公因式,并把原多项式____除以____公因式所得的商作为另一个因式；
③写出____分解结果____.

答案：
(1)多项式 因式 提公因式法
(2)①最大公约数 ③最低
(3)①公因式 ②除以 ③分解结果

3. 添括号法则
括号前面添加号,括到括号里的各项都不变,括号前面添减号,括到括号里的各项都变号.
即$a - b + c = + (a - b + c)$,$a - b + c = - ( - a + b - c)$.
注意：当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出“-”号,使括号内第一项的系数成为正数.在提出“-”号时,多项式的各项都要变号.

答案： 加号 不变 减号 变号

考点1 提公因式法
例题1 分解因式：$4a^{2}bc + 8a^{3}b^{2}c^{2}$.
 

答案： 【解析】：首先，确定公因式。对于系数，4和8的最大公约数是4；对于字母部分，根据取相同字母的最低次幂原则，$a^{2}$与$a^{3}$中取$a^{2}$，b与$b^{2}$中取b，c与$c^{2}$中取c，所以公因式为$4a^{2}bc$。然后，根据提公因式法，将公因式$4a^{2}bc$提出，用原式除以公因式得到括号内的式子，即$4a^{2}bc÷4a^{2}bc = 1$，$8a^{3}b^{2}c^{2}÷4a^{2}bc = 2abc$，所以原式可分解为$4a^{2}bc(1 + 2abc)$。
【答案】：$4a^{2}bc(1 + 2abc)$

1. 多项式$3x^{2}y^{2} - 12x^{2}y^{4} - 6x^{3}y^{3}$的公因式是 (C)
A.$3x^{2}y^{2}z$
B.$x^{2}y^{2}$
C.$3x^{2}y^{2}$
D.$3x^{3}y^{2}z$

答案： C

2. 指出下列多项式的公因式：
(1)$3a^{2}y - 3ay + 6y$；
(2)$\frac{4}{9}xy^{3} - \frac{8}{27}x^{3}y^{2}$；
(3)$- 27a^{2}b^{3} + 36a^{3}b^{2} + 9a^{2}b$.

答案： 解：
(1)$(3a^{2}y - 3ay + 6y)$的公因式是$3y$；
(2)$(\frac{4}{9}xy^{3} - \frac{8}{27}x^{3}y^{2})$的公因式是$\frac{4}{9}xy^{2}$；
(3)$(-27a^{2}b^{3} + 36a^{3}b^{2} + 9a^{2}b)$的公因式是$-9a^{2}b$。

3. 把下列各式分解因式.
(1)$5x^{2}y^{3} - 25x^{3}y^{2}$；
(2)$- 49a^{2}bc - 14ab^{2}c + 7ab$；
(3)$a(3b + c) + 2b(3b + c)$；
(4)$2x(x - y)^{2} - 4y(y - x)^{2}$.

答案： 解：
(1)$5x^{2}y^{2}(y - 5x)$；
(2)$-7ab(7ac + 2bc - 1)$；
(3)$(3b + c)(a + 2b)$；
(4)$2(x - y)^{2}(x - 2y)$。