《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-(m + n)x + mn = 0$,其中 $m$,$n$ 在数轴上的对应点如图所示,则这个方程的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A

2 [中]若等腰三角形的边长分别为 $a$,$b$,2,且 $a$,$b$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + n - 1 = 0$ 的两个实数根,则 $n$ 的值为(B)
A.9
B.10
C.9 或 10
D.8 或 10

答案： B

3 [中]对于实数 $a$,$b$,定义运算“$*$”：$a*b= \begin{cases}a^{2}-ab(a\leqslant b)\\b^{2}-ab(a ＞ b)\end{cases} $. 若关于 $x$ 的方程 $(2x - 1)*(x - 1)= m$ 恰好有三个实数根,则 $m$ 的取值范围是______$0＜m＜\frac{1}{4}$.

答案： $0＜m＜\frac{1}{4}$

4 [2025 江苏镇江调研,中]阅读下列材料：求函数 $y= \frac{3x^{2}+2x}{x^{2}+x + 0.25}$ 的最大值.
将原函数化为关于 $x$ 的一元二次方程,得 $(y - 3)x^{2}+(y - 2)x+\frac{1}{4}y = 0$.
$\because x$ 为实数,$\therefore b^{2}-4ac= (y - 2)^{2}-4(y - 3)×\frac{1}{4}y= -y + 4\geqslant0$,$\therefore y\leqslant4$.
根据材料给你的启示,函数 $y= \frac{3x^{2}+x + 2}{x^{2}+2x + 1}$ 的最小值是______$\frac{23}{16}$.

答案： $\frac{23}{16}$

5 [2025 江苏南京期末,中]对于关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的根的情况,有以下四种表述：
① 当 $a ＜ 0$,$b + c ＞ 0$,$a + c ＜ 0$ 时,方程一定没有实数根；
② 当 $a ＜ 0$,$b + c ＞ 0$,$b - c ＜ 0$ 时,方程一定有实数根；
③ 当 $a ＞ 0$,$a + b + c ＜ 0$ 时,方程一定没有实数根；
④ 当 $a ＞ 0$,$b + 4a = 0$,$4a + 2b + c = 0$ 时,方程一定有两个不相等的实数根.
其中表述正确的序号是______②.

答案： ②

6 [2025 江苏泰州质检,较难]已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(2n - mn)x^{2}+2(m - n)x - 2m + mn = 0$ 有两个相等的实数根,则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 的值为1.

答案： 1

7 核心素养应用意识 [2025 广东深圳期中,较难]数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后,发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况,还可以解决其他问题. 下面是该学习小组收集的素材,请根据素材帮助他们完成相应任务.
关于根的判别式的探究
素材：对于一个关于 $x$ 的二次三项式 $ax^{2}+bx + c(a\neq0)$,利用根的判别式可以求该多项式的最值. 比如：求 $x^{2}+2x + 3$ 的最小值,令 $y = x^{2}+2x + 3$,则 $x^{2}+2x + 3 - y = 0$,则 $b^{2}-4ac = 4 - 4(3 - y)= -8 + 4y\geqslant0$,可解得 $y\geqslant2$,从而确定 $x^{2}+2x + 3$ 的最小值为 2. 这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法
问题解决
任务 1：感受新知：用判别式法求 $3x^{2}+4x - 2$ 的最小值
任务 2：探索新知：若关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2}-ax + 3(a$ 为常数)的最小值为 -1,求 $a$ 的值
任务 3：应用新知：利用已有知识经验,求证：周长为 $a$ 的矩形中,正方形的面积最大

答案： 任务1:[解]设$y = 3x^{2}+4x - 2$,
∴$3x^{2}+4x - 2 - y = 0$,
∴$b^{2}-4ac=16 - 4×3(-2 - y)=40 + 12y≥0$,
∴$y≥-\frac{10}{3}$,
∴$3x^{2}+4x - 2$的最小值为$-\frac{10}{3}$。
任务2:[解]令$y = x^{2}-ax + 3$,
∴$x^{2}-ax + 3 - y = 0$,
∴$b^{2}-4ac=a^{2}-4(3 - y)=a^{2}-12 + 4y≥0$,
∴$y≥3-\frac{1}{4}a^{2}$。又
∵y的最小值为 - 1,
∴$3-\frac{1}{4}a^{2}=-1$,
∴$a^{2}=16$,
∴$a = ±4$。
任务3:[证明]设矩形的面积为y,其中一边长为x,则与其相邻的一边长为$(\frac{1}{2}a - x)$,
∴$y = x(\frac{1}{2}a - x)=\frac{1}{2}ax - x^{2}$,
∴$x^{2}-\frac{1}{2}ax + y = 0$,
∴$b^{2}-4ac=\frac{1}{4}a^{2}-4y≥0$,
∴$y≤\frac{1}{16}a^{2}$,
∴y的最大值为$\frac{1}{16}a^{2}$,
∴$\frac{1}{2}ax - x^{2}=\frac{1}{16}a^{2}$,
∴$x_1 = x_2=\frac{1}{4}a$,
∴$\frac{1}{2}a - x=\frac{1}{4}a$,
∴周长为a的矩形中,正方形的面积最大。