《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1[2025河北沧州调研,中]如图,小明用含30°角和45°角的三角板,拼成甲、乙两种图形,则关于两图中四个顶点A,B,C,D的说法,正确的是( )


A.甲图中四点共圆,乙图中四点共圆
B.甲图中四点共圆,乙图中四点不共圆
C.甲图中四点不共圆,乙图中四点共圆
D.甲图中四点不共圆,乙图中四点不共圆

答案：
C　[解析]如甲图，取AC中点M，连接DM，BM.
∵∠ADC = 90°，
∴DM = AM = CM，
∴点D，A，C在以点M为圆心、AM长为半径的圆上.
∵△BCM为直角三角形，
∴BM＞CM，
∴点B在圆M外，
∴甲图中四点不共圆.如乙图，取AC中点N，连接DN，BN.
∵∠ADC = ∠ABC = 90°，
∴DN = AN = CN = BN，
∴点D，A，C，B在以点N为圆心，AN长为半径的圆上，
∴乙图中四点共圆.故选C.
　　　

在Rt△ABC中,∠C= 90°,BC= 3,AC= 4,D为AB的中点.以A为圆心,r为半径作⊙A,若B,C,D三点中只有一点在⊙A内,则r的取值范围是(A)
A.2.5＜r≤4
B.2.5＜r＜4
C.2.5≤r≤4
D.2.5≤r＜4

答案： A　[解析]在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 4，
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.
∵D为AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB = 2.5$.
∴当⊙A的半径r = AD = 2.5时，点B，C在⊙A外，点D在⊙A上；当⊙A的半径r = AC = 4时，点B在⊙A外，点C在⊙A上，点D在⊙A内；当⊙A的半径r = AB = 5时，点B在⊙A上，点C，D在⊙A内，
∴若B，C，D三点中只有一点在⊙A内，则r的取值范围是2.5＜r≤4.故选A.

3[2024江苏苏州姑苏区调研,中]如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 8,BC= 14,点D在边BC上,CD= 6,以点D为圆心作⊙D,其半径长为r,要使点A恰好在⊙D外,点B在⊙D内,则r的取值范围是____8＜r＜10.

答案： $8＜r＜10$　[解析]在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 8，BC = 14，CD = 6，则BD = BC - CD = 14 - 6 = 8，$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$.
∵点A恰好在⊙D外，点B在⊙D内，
∴$8＜r＜10$.故答案为$8＜r＜10$.

4[2025江苏宿迁调研,中]如图,在△ABC中,AB= AC,BC= 8,AD⊥BC于点D,P是半径为2的⊙A上一个动点,连接BP,E是BP的中点,连接DE,若在P运动过程中DE长的最大值为$\frac{7}{2}$,则AD的长为____.

答案：
3　[解析]连接AP，如图.当点P在CA延长线上时，CP = AP + AC，此时CP的值最大.
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}× 8 = 4$，即点D是BC中点.
∵E是BP的中点，
∴DE是△BCP的中位线，
∴CP = 2DE.
∵DE长的最大值为$\frac{7}{2}$，
∴CP长的最大值为$2DE = 2×\frac{7}{2}=7$.
∵AP = 2，
∴AC = CP - AP = 7 - 2 = 5.
∵AD⊥BC，
∴∠ADC = 90°，
∴$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$.故答案为3.

5核心素养模型观念[2025江苏南京质检,较难]
【模型建立】
如图(1)、图(2),点P分别在⊙O外和⊙O内,直线PO分别交⊙O于点A,B,则PA的长是点P到⊙O上的点的最短距离,PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离.

【问题解决】
请证明PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离.
【初步应用】
(1)已知点P到⊙O上的点的最短距离为3,最长距离为7,则⊙O的半径为____.
(2)如图(3),在△ABC中,∠C= 90°,AC= 8,BC= 6,点E在边BC上,且CE= 2,动点P在半径为2的⊙E上,则AP长的最小值是____.

【拓展延伸】
(3)如图(4),点A的坐标为(2,0),动点B在以P(4,4)为圆心,$\sqrt{2}$为半径的圆上,OB的中点为C,则线段AC长的最大值为____.

答案：
【问题解决】[证明]如图
(1)，点C为⊙O上任意一点，连接PC，OC.

当点C与点B不重合时，
∵在△POC中，PO + CO ＞ PC，CO = BO，
∴PO + BO ＞ PC，即PB ＞ PC；当点C与点B重合时，PB = PC.综上可得PB≥PC，即PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离.同理可证，题图
(2)中PB的长是点P到⊙O的点的最长距离.
[解][初步应用]
(1)若点P在⊙O外，由题图
(1)知PA = 3，PB = 7，
∴AB = PB - PA = 7 - 3 = 4，
∴⊙O的半径为2；若点P在⊙O内，由题图
(2)知PA = 3，PB = 7，
∴AB = PB + PA = 7 + 3 = 10，
∴⊙O的半径为5.综上所述，⊙O的半径为2或5.故答案为2或5.
(2)连接AE，交⊙O于点D，如图
(2).由题意得AD的长是点A到⊙E上的点的最短距离，
∴AP长的最小值为AD的长.在Rt△ACE中，AC = 8，CE = 2，
∴$AE=\sqrt{AC^2+CE^2}=\sqrt{8^2+2^2}=2\sqrt{17}$，
∴$AD=AE - DE=2\sqrt{17}-2$，
∴AP长的最小值是$2\sqrt{17}-2$.故答案为$2\sqrt{17}-2$.
[拓展延伸]
(3)取点D(４,0)，连接BD，如图
(3).
∵A(2,0)，D(4,0)，
∴点A是线段OD的中点.
∵点C是线段OB的中点，
∴AC为△OBD的中位线，
∴$AC=\frac{1}{2}BD$，
∴当线段BD的长取得最大值时，线段AC的长也取得最大值.连接DP并延长交⊙P于点B'，连接OB'.当点B位于点B'时，线段DB的长有最大值.
∵P(4,4)，D(4,0)，
∴PD = 4.
∵⊙P的半径为$\sqrt{2}$，即$PB'=\sqrt{2}$，
∴$DB'=PB'+PD = 4+\sqrt{2}$，
∴线段DB长的最大值为$4+\sqrt{2}$，
∴线段AC长的最大值为$\frac{1}{2}BD = 2+\frac{\sqrt{2}}{2}$.故答案为$2+\frac{\sqrt{2}}{2}$.