《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

关于$x的方程x^{2}+kx = 2$（$k$为常数）的根的情况,下列结论中正确的是(C)
A.有两个正根
B.有两个负根
C.有一个正根,一个负根
D.无实数根

答案： C 【解析】
∵x²+kx=2，
∴x²+kx-2=0，
∴b²-4ac=k²+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
∵x₁x₂=$\frac{c}{a}$=-2，
∴方程的两个实数根异号，
∴方程x²+kx=2有一个正根，一个负根，故选C.

$x_{1}和x_{2}是关于x的方程x^{2}-2mx + 4 = 0$的两个实数根,且满足$x_{1}\gt x_{2}\gt1$,则实数$m$的取值范围为(B)
A.$m\gt\frac{5}{2}$
B.$2\lt m\lt\frac{5}{2}$
C.$2\leq m\lt\frac{5}{2}$
D.$1\lt m\lt\frac{5}{2}$

答案： B 【解析】
∵关于x的方程x²-2mx+4=0有两个不相等的实数根，
∴b²-4ac=4m²-16＞0，
∴m²＞4.由一元二次方程根与系数的关系，得$\begin{cases}x_1+x_2=2m,\\x_1x_2=4.\end{cases}$
∵x₁＞x₂＞1，
∴(x₁-1)(x₂-1)=x₁x₂-(x₁+x₂)+1＞0，x₁+x₂＞2，
∴4-2m+1＞0，2m＞2，解得1＜m＜$\frac{5}{2}$，
∴2＜m＜$\frac{5}{2}$，故选B.

3 [2025江苏宿迁期中,中]若$m,n为方程x^{2}+2024x - 1 = 0$的两根,则$(m^{2}+2025m - 1)(n^{2}+2025n - 1)$的值为(B)
A.$1$
B.$-1$
C.$-4049$
D.$4049$

答案： B 【解析】
∵m,n为方程x²+2024x-1=0的两根，
∴m²+2024m-1=0，n²+2024n-1=0，mn=-1，
∴m²+2024m=1，n²+2024n=1，
∴(m²+2025m-1)(n²+2025n-1)=(m²+2024m+m-1)(n²+2024n+n-1)=(1+m-1)(1+n-1)=mn=-1，故选B.

若关于$x的方程x^{2}+2mx + m^{2}+3m - 2 = 0有两个实数根x_{1},x_{2}$,则$x_{1}(x_{2}+x_{1})+x_{2}^{2}$的最小值为(D)
A.$1$
B.$2$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{5}{4}$

答案： D 【解析】根据题意得b²-4ac=4m²-4(m²+3m-2)≥0，解得m≤$\frac{2}{3}$.
∵x₁+x₂=-2m，x₁x₂=m²+3m-2，
∴x₁(x₂+x₁)+x₂²=x₁x₂+x₁²+x₂²=(x₂+x₁)²-x₁x₂=(-2m)²-(m²+3m-2)=4m²-m²-3m+2=3m²-3m+2=3$(m-\frac{1}{2})^2+\frac{5}{4}$≥$\frac{5}{4}$，故x₁(x₂+x₁)+x₂²的最小值为$\frac{5}{4}$.故选D.

5 [2025上海徐汇区期中,中]设$x_{1},x_{2}是方程x^{2}+px + q = 0$的两个有理根,已知$2x_{1}-x_{2}+\sqrt{x_{1}+3x_{2}}= 1+\sqrt{11}$,则$p + q$的值为______1。

答案： 1 【解析】
∵x₁,x₂是方程x²+px+q=0的两个有理根，
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q.
∵2x₁-x₂+$\sqrt{x_1+3x_2}$=1+$\sqrt{11}$，
∴2x₁-x₂=1，x₁+3x₂=11，解得x₁=2，x₂=3，
∴p=-5，q=6，
∴p+q=1，故答案为1.

6 [2025江苏宿迁期中,中]对于一切不小于$2的自然数n$,关于$x的一元二次方程x^{2}-(n + 2)x - 2n^{2}= 0的两个根记作a_{n},b_{n}(n\geq2)$,则$\frac{1}{(a_{2}-2)(b_{2}-2)}+\frac{1}{(a_{3}-2)(b_{3}-2)}+…+\frac{1}{(a_{2023}-2)(b_{2023}-2)}= $$-\frac{1011}{4048}$。

答案： $-\frac{1011}{4048}$ 【解析】由根与系数的关系得aₙ+bₙ=n+2，aₙ·bₙ=-2n²，
∴(aₙ-2)(bₙ-2)=aₙbₙ-2(aₙ+bₙ)+4=-2n²-2(n+2)+4=-2n(n+1)，则$\frac{1}{(a_n-2)(b_n-2)}=-\frac{1}{2n(n+1)}=-\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，
∴$\frac{1}{(a_2-2)(b_2-2)}+\frac{1}{(a_3-2)(b_3-2)}+\cdots+\frac{1}{(a_{2023}-2)(b_{2023}-2)}=-\frac{1}{2}×[(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024})]=-\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{2024})=-\frac{1}{2}×\frac{1011}{2024}=-\frac{1011}{4048}$.故答案为$-\frac{1011}{4048}$.

7 [2025福建泉州质检,中]如图,直线$y = ax + 6(a\gt0)与反比例函数y= \frac{k}{x}(k\lt0,x\lt0)图像交于A,B$两点,若$S_{\triangle AOB}= \frac{6}{a}$,则$ak$的值为-8。

答案： -8 【解析】令ax+6=$\frac{k}{x}$，
∴ax²+6x-k=0，设方程的两个根为x₁,x₂，且x₁＞x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{6}{a}$，x₁x₂=-$\frac{k}{a}$，
∴x₁-x₂=$\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{36}{a^2}+\frac{4k}{a}}=\frac{\sqrt{36+4ak}}{a}$.
∵S△AOB=$\frac{6}{a}$，直线y=ax+6(a＞0)与y轴交于点(0,6)，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}×6×(x_1-x_2)=3(x_1-x_2)=\frac{6}{a}$，
∴3×$\frac{\sqrt{36+4ak}}{a}=\frac{6}{a}$，
∴$\sqrt{36+4ak}=2$，
∴36+4ak=4，
∴4ak=-32，
∴ak=-8.故答案为-8.

8 [2024江苏无锡期末,较难]一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)的两实数根分别为x_{1},x_{2}$,则方程可写成$a(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$,即$ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x + ax_{1}x_{2}= 0$。设一元三次方程$ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0(a\neq0)的三个非零实数根分别为x_{1},x_{2},x_{3}$,现给出以下结论：①$x_{1}+x_{2}+x_{3}= -\frac{b}{a}$；②$x_{1}x_{2}x_{3}= -\frac{b}{a}$；③$x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}= \frac{c}{a}$；④$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}= \frac{c}{d}$。其中正确的是______(写出所有正确结论的序号)。①③

答案： ①③ 【解析】
∵一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0(a≠0)的三个非零实数根分别为x₁,x₂,x₃，
∴a(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)=0，
∴a[x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂](x-x₃)=0，
∴ax³-a(x₁+x₂)x²+ax₁x₂x-ax₃x²+ax₃(x₁+x₂)x-ax₁x₂x₃=0，
∴ax³-a(x₁+x₂+x₃)x²+a(x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃)x-ax₁x₂x₃=0，
∴x₁+x₂+x₃=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃=$\frac{c}{a}$，x₁x₂x₃=-$\frac{d}{a}$，
∴①③正确，②不正确；
∵$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_2x_3+x_1x_3+x_2x_1}{x_1x_2x_3}=\frac{\frac{c}{a}}{-\frac{d}{a}}=-\frac{c}{d}$，
∴④不正确，故答案为①③.

(1)直接应用：方程$x^{4}-5x^{2}+6 = 0$的解为$x_{1}=\sqrt{2}$，$x_{2}=-\sqrt{2}$，$x_{3}=\sqrt{3}$，$x_{4}=-\sqrt{3}$；
(2)间接应用：已知实数$a,b满足2a^{4}-7a^{2}+1 = 0,2b^{4}-7b^{2}+1 = 0且a\neq b$,求$a^{4}+b^{4}$的值；
【解】∵a≠b，∴a²≠b²或a²=b².
①当a²≠b²时，令a²=m，b²=n，∴m≠n，则2m²-7m+1=0，2n²-7n+1=0，∴m,n是方程2x²-7x+1=0的两个不相等的实数根，∴$\begin{cases}m+n=\frac{7}{2},\\mn=\frac{1}{2},\end{cases}$此时a⁴+b⁴=m²+n²=(m+n)²-2mn=$\frac{45}{4}$.
②当a²=b²(a=-b)时，a²=b²=$\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，此时a⁴+b⁴=2a⁴=2(a²)²=$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$.
综上所述，a⁴+b⁴的值为$\frac{45}{4}$或$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$.
(3)拓展应用：已知实数$m,n满足\frac{1}{m^{4}}+\frac{1}{m^{2}}= 7,n^{2}-n = 7且n\gt0$,求$\frac{1}{m^{4}}+n^{2}$的值。
【解】令$\frac{1}{m^2}=a$，-n=b，则a²+a-7=0，b²+b-7=0.∵n＞0，∴$\frac{1}{m^2}$≠-n，即a≠b，∴a,b是方程x²+x-7=0的两个不相等的实数根，∴$\begin{cases}a+b=-1,\\ab=-7,\end{cases}$故$\frac{1}{m^4}$+n²=a²+b²=(a+b)²-2ab=15.

答案： 【解】
(1)令y=x²，则原方程可化为y²-5y+6=0，
∴(y-2)·(y-3)=0，
∴y₁=2，y₂=3，
∴x²=2或3，
∴x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{3}$，x₄=-$\sqrt{3}$，故答案为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{3}$，x₄=-$\sqrt{3}$.
(2)
∵a≠b，
∴a²≠b²或a²=b².
①当a²≠b²时，令a²=m，b²=n，
∴m≠n，则2m²-7m+1=0，2n²-7n+1=0，
∴m,n是方程2x²-7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴$\begin{cases}m+n=\frac{7}{2},\\mn=\frac{1}{2},\end{cases}$此时a⁴+b⁴=m²+n²=(m+n)²-2mn=$\frac{45}{4}$.
②当a²=b²(a=-b)时，a²=b²=$\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，此时a⁴+b⁴=2a⁴=2(a²)²=$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$.
综上所述，a⁴+b⁴的值为$\frac{45}{4}$或$\frac{45±7\sqrt{41}}{4}$.
(3)令$\frac{1}{m^2}=a$，-n=b，则a²+a-7=0，b²+b-7=0.
∵n＞0，
∴$\frac{1}{m^2}$≠-n，即a≠b，
∴a,b是方程x²+x-7=0的两个不相等的实数根，
∴$\begin{cases}a+b=-1,\\ab=-7,\end{cases}$故$\frac{1}{m^4}$+n²=a²+b²=(a+b)²-2ab=15.