《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1[2024江苏连云港质检]一元二次方程$3x - 1 - 2x^{2} = 0在用求根公式x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a }$求解时,$a$,$b$,$c$的值分别是(D)
A.$3$,$-1$,$-2$
B.$-2$,$-1$,$3$
C.$-2$,$3$,$1$
D.$-2$,$3$,$-1$

答案： 1.D 【解析】
∵3x-1-2x²=0,
∴-2x²+3x-1=0,则a=-2,b=3,c=-1,故选 D.

2[2025江苏无锡期中]用公式法解一个一元二次方程的根为$x = \frac { - 5 \pm \sqrt { 13 } } { 6 }$,则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为(C)
A.$6$,$5$,$1$
B.$3$,$5$,$-1$
C.$3$,$5$,$1$
D.$3$,$-5$,$1$

答案： 2.C 【解析】
∵用公式法解一个一元二次方程的根为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-5±√13)/6,
∴a=3,b=5,b²-4ac=13,即5²-4×3c=13,解得c=1,即此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3,5,1,故选 C.

利用公式法解一元二次方程$3x^{2} - 11x - 1 = 0的两根为a$,$b$,且$a ＞ b$,则$a$的值为(D)
A.$\frac { - 11 + \sqrt { 109 } } { 6 }$
B.$\frac { - 11 + \sqrt { 133 } } { 6 }$
C.$\frac { 11 + \sqrt { 109 } } { 6 }$
D.$\frac { 11 + \sqrt { 133 } } { 6 }$

答案： 3.D 【解析】3x²-11x-1=0中,a=3,b=-11,c=-1,
∴b²-4ac=(-11)²-4×3×(-1)=133＞0,
∴x=(11±√133)/(2×3)=(11±√133)/6.
∵一元二次方程3x²-11x-1=0的两根为a,b,且a＞b,
∴a的值为(11+√133)/6.故选 D.

4如图,在矩形$ABCD$中,$AB = a ( a ＜ 2 )$,$BC = 2$.以点$D$为圆心,$CD$的长为半径画弧,交$AD于点E$,交$BD于点F$.下列线段的长度是方程$x^{2} + 2 a x - 4 = 0$的一个根的是(B)
A.线段$AE$的长
B.线段$BF$的长
C.线段$BD$的长
D.线段$DF$的长

答案： 4.B 【解析】
∵四边形ABCD为矩形,
∴CD=AB=a,AD=BC=2,∠A=90°,
∴BD=√(2²+a²)=√(4+a²).由作法得DE=DF=DC=a,
∴AE=2-a,BF=√(4+a²)-a.解方程x²+2ax-4=0,得x₁=-a+√(4+a²),x₂=-a-√(4+a²),
∴线段BF的长为方程的一个根.故选 B.

如果关于$x的一元二次方程a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大$1$,那么称这样的方程为“邻根方程”.例如,一元二次方程$x ^ { 2 } + x = 0的两个根是x _ { 1 } = 0$,$x _ { 2 } = - 1$,则方程$x ^ { 2 } + x = 0$是“邻根方程”.若关于$x的方程a x ^ { 2 } + b x + 1 = 0$($a ＞ 0$)是“邻根方程”,$t = 10 a - b ^ { 2 }$,则$t$的最大值是____9.

答案： 5.9 【解析】设x₁,x₂是方程ax²+bx+1=0(a＞0)的两根,则x₁=(-b+√(b²-4a))/(2a),x₂=(-b-√(b²-4a))/(2a).
∵原方程是“邻根方程”,
∴(-b+√(b²-4a))/(2a)-(-b-√(b²-4a))/(2a)=1,
∴√(b²-4a)=a,
∴b²-4a=a²,
∴b²=a²+4a,
∴t=10a-b²=10a-(a²+4a)=-(a-3)²+9≤9,
∴t的最大值为9.故答案为9.

6用公式法解下列方程.
(1)$\frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } - x - \frac { 2 } { 3 } = 0$.(2)$4 x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } x - 1 = 0$.

答案： 6.【解】
(1)方程整理为2x²-3x-2=0.因为a=2,b=-3,c=-2,b²-4ac=(-3)²-4×2×(-2)=25＞0,所以x=(3±5)/(2×2),所以x₁=-1/2,x₂=2.
(2)4x²-2√3x-1=0,所以a=4,b=-2√3,c=-1,所以b²-4ac=(-2√3)²-4×4×(-1)=28,所以x=-(-2√3)±√28)/(2×4)=(√3±√7)/4,所以x₁=(√3+√7)/4,x₂=(√3-√7)/4.

7已知关于$x的一元二次方程x ^ { 2 } - ( 2 m + 3 ) x + m ^ { 2 } + 3 m + 2 = 0$.
(1)若$x = 2$是方程的一个根,求$m$的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为$\triangle ABC中AB$,$AC ( AB ＜ AC )$的长,当$BC = \sqrt { 5 }$时,$\triangle ABC$是直角三角形,求此时$m$的值.

答案： 7.【解】
(1)
∵x=2是方程的一个根,
∴4-2(2m+3)+m²+3m+2=0,
∴m=0或m=1.
(2)
∵b²-4ac=[-(2m+3)]²-4(m²+3m+2)=1＞0,
∴x=(2m+3±1)/2,
∴x₁=m+2,x₂=m+1.
∵AB,AC(AB＜AC)的长是这个方程的两个实数根,
∴AC=m+2＞0,AB=m+1＞0,
∴m＞-1.
∵当BC=√5时,△ABC是直角三角形,
∴当BC为斜边时,有(m+2)²+(m+1)²=(√5)²,解这个方程,得m₁=-3(不符合题意,舍去),m₂=0;当AC为斜边时,有(√5)²+(m+1)²=(m+2)²,解这个方程,得m=1.综上所述,m的值为0或1.

8[2024江苏淮安质检]下面是小明同学解方程$x ^ { 2 } - 5 x = - 4$的过程：
$\because a = 1$,$b = - 5$,$c = - 4$,
$\therefore b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 5 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 4 ) = 41$,
$\therefore x = \frac { 5 \pm \sqrt { 41 } } { 2 }$,
$\therefore x _ { 1 } = \frac { 5 + \sqrt { 41 } } { 2 }$,$x _ { 2 } = \frac { 5 - \sqrt { 41 } } { 2 }$.
小明的解答过程是否有错,如有,请写出正确的过程.

答案： 8.【解】有错,错在没有将方程化为一般形式,弄错了常数项.正确的过程如下:
∵x²-5x=-4,
∴x²-5x+4=0,
∴a=1,b=-5,c=4,
∴b²-4ac=(-5)²-4×1×4=9＞0,
∴x=(5±√9)/2,
∴x₁=1,x₂=4.