《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1 [2025江苏常州调研]如图,$\odot O和直线l_{1}$、直线$l_{2}$在同一平面内,AB是$\odot O$的直径,直线$l_{2}是\odot O$的切线,切点为B,直线$l_{1}$经过点A,下列条件不能判定直线$l_{1}与\odot O$相切的是( D )

A.$l_{1}// l_{2}$
B.$l_{1}⊥AB$
C.$l_{1}与\odot O$只有一个公共点
D.点O到$l_{1}$上某点的距离等于半径

答案： 1.D　【解析】
∵ AB是⊙O的直径，且l₂是⊙O的切线，切点为B，
∴ l₂⊥AB. 又
∵ l₁//l₂，
∴ l₁⊥AB，
∴ 直线l₁与⊙O相切，故选项A、B可以判定，不符合题意. 根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，故选项C可以判定，不符合题意. D选项无法判定直线l₁与⊙O相切. 故选D.

2 如图,点B在$\odot A$上,点C在$\odot A$外,以下条件不能判定BC是$\odot A$切线的是(D)
A.$∠A= 50^{\circ },∠C= 40^{\circ }$
B.$∠B-∠C= ∠A$
C.$AB^{2}+BC^{2}= AC^{2}$
D.$\odot A$与AC的交点是AC中点

答案： 2.D　【解析】A选项，
∵ ∠A = 50°，∠C = 40°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 90°，
∴ BC⊥AB.
∵ 点B在⊙A上，
∴ AB是⊙A的半径，
∴ BC是⊙A的切线. B选项，
∵ ∠B - ∠C = ∠A，
∴ ∠B = ∠A + ∠C.
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠B = 90°，
∴ BC⊥AB.
∵ 点B在⊙A上，
∴ AB是⊙A的半径，
∴ BC是⊙A的切线.
易错警示：片面地在半径外端找点，而忽视直线另一侧圆上符合条件的点，就会出错.
思路分析：连接OC，由CE为⊙O的切线可得OC⊥CE，由OA = OC得到∠OAC = ∠OCA = 25°，再利用外角性质求出∠COE的度数，即可求出∠E的度数.
C选项，
∵ AB² + BC² = AC²，
∴ △ABC是直角三角形，且∠B = 90°，
∴ BC⊥AB.
∵ 点B在⊙A上，
∴ AB是⊙A的半径，
∴ BC是⊙A的切线.
D选项，
∵ ⊙A与AC的交点是AC中点，
∴ AB = $\frac{1}{2}$AC，但不能证出∠B = 90°，
∴ 不能判定BC是⊙A的切线. 故选D.

3 新考向开放性试题如图,AB是$\odot O$的直径,要使得直线AT是$\odot O$的切线,需要添加的一个条件是∠TAC = ∠B.(写一个条件即可)

答案： 3.∠TAC = ∠B(答案不唯一)　【解析】
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ ∠B + ∠BAC = 90°.
∵ ∠TAC = ∠B，
∴ ∠TAC + ∠BAC = 90°，即∠OAT = 90°.
∵ OA是⊙O的半径，
∴ 直线AT是⊙O的切线. 故答案为∠TAC = ∠B(答案不唯一).

4 [2024辽宁大连质检]如图,已知$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,AB是$\odot O$的直径,D是AB延长线上的一点,$AE⊥CD$交DC的延长线于E,$CF⊥AB$于F,且$CE= CF$.
(1)求证：DE是$\odot O$的切线；
(2)若$AB= 10,BD= 3$,求AE的长.

答案：
4.
(1)【证明】连接OC，如图.
∵ AE⊥CD，CF⊥AB，且CE = CF，
∴ ∠1 = ∠2.
∵ OA = OC，
∴ ∠2 = ∠3，
∴ ∠1 = ∠3，
∴ OC//AE，
∴ OC⊥CD.
∵ OC是⊙O的半径，
∴ DE是⊙O的切线.
(2)【解】
∵ OC⊥ED，AB = 10，BD = 3，
∴ OB = OC = 5，
∴ OD = 8，
∴ CD = $\sqrt{OD² - OC²}$ = $\sqrt{39}$.
∵ S△OCD = $\frac{1}{2}$OC·CD = $\frac{1}{2}$OD·CF，
∴ $\frac{1}{2}$×5×$\sqrt{39}$ = $\frac{1}{2}$×8×CF，
∴ CF = $\frac{5\sqrt{39}}{8}$，
∴ OF = $\sqrt{OC² - FC²}$ = $\frac{25}{8}$，
∴ AF = OA + OF = 5 + $\frac{25}{8}$ = $\frac{65}{8}$. 在Rt△AEC和Rt△AFC中，CE = CF，AC = AC，
∴ Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，
∴ AE = AF = $\frac{65}{8}$.

5 [2024江苏扬州邗江区期末]如图,AB是$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上的点,$∠CDB= 25^{\circ }$,过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点E,则$∠E$等于( )


A.$40^{\circ }$
B.$50^{\circ }$
C.$60^{\circ }$
D.$30^{\circ }$

答案：
5.A　【解析】连接OC，如图.
∵ CE为⊙O的切线，
∴ OC⊥CE，
∴ ∠OCE = 90°.
∵ ∠CDB = 25°，
∴ ∠BAC = ∠CDB = 25°.
∵ OA = OC，
∴ ∠OAC = ∠OCA = 25°，
∴ ∠COE = 50°，
∴ ∠E = 40°. 故选A.

6 已知AB为$\odot O$的直径,$AB= 6$,C为$\odot O$上一点,连接CA,CB.如图,若$AC= 2$,OD为$\odot O$的半径,且$OD⊥CB$,垂足为E,过点D作$\odot O$的切线,与AC的延长线相交于点F,则FD的长为____2$\sqrt{2}$.

答案： 6.2$\sqrt{2}$
思路分析：利用切线的性质求线段长：∠FCB = ∠CED = 90°→四边形CEDF为矩形→求得FD的长；∠ODF = 90°，勾股定理→BC的长→CE的长
【解析】
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°，
∴ ∠FCB = 90°.
∵ DF是⊙O的切线，
∴ OD⊥DF，
∴ ∠ODF = 90°.
∵ OD⊥BC，
∴ ∠CED = 90°，
∴ 四边形FCED为矩形，
∴ FD = EC. 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 2，AB = 6，
∴ BC = $\sqrt{AB² - AC²}$ = 4$\sqrt{2}$；
∵ OD⊥BC，
∴ EC = $\frac{1}{2}$BC = 2$\sqrt{2}$，
∴ FD = 2$\sqrt{2}$. 故答案为2$\sqrt{2}$.

7 [2025江苏南通调研]如图,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠A= 90^{\circ }$,D为$\overset{\frown }{AC}$的中点,AD,BC的延长线交于点E,$\odot O$的切线DF与BE交于点F.
(1)求证：DF是$∠CDE$的平分线；
(2)若$∠E= 30^{\circ },BE= 6$,求CF的长.

答案：
7.
(1)【证明】如图，连接BD.
∵ ∠A = 90°，
∴ BD是⊙O的直径.
∵ DF是⊙O的切线，
∴ ∠BCD = ∠BDF = 90°.
∵ D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴ ∠ABD = ∠CBD，
∴ ∠BDA = ∠BDC.
∵ ∠BDF = 90°，
∴ ∠BDA + ∠FDE = 90°，∠BDC + ∠CDF = 90°，
∴ ∠FDE = ∠CDF，
∴ DF是∠CDE的平分线.
(2)【解】
∵ ∠E = 30°，
∴ ∠ABE = 60°，
∴ ∠ABD = ∠EBD = 30°，即∠EBD = ∠E，
∴ DB = DE.
∵ ∠BCD = 90°，
∴ BC = CE = $\frac{1}{2}$BE = 3. 在Rt△BCD中，BD = 2CD，BD² = CD² + BC²，
∴ 4CD² = CD² + 3²，
∴ CD = $\sqrt{3}$. 在Rt△CDF中，∠CDF = $\frac{1}{2}$∠CDE = $\frac{1}{2}$(90° - ∠E) = 30°，
∴ DF = 2CF.
∵ DF² = CD² + CF²，
∴ 4CF² = ($\sqrt{3}$)² + CF²，
∴ CF = 1.

8 [2023山东滨州中考]如图,PA,PB分别与$\odot O$相切于A,B两点,且$∠APB= 56^{\circ }$.若点C是$\odot O$上异于点A,B的一点,则$∠ACB$的大小为____.

答案：
8.62°或118°　【解析】如图所示，连接AC，BC. 当点C在优弧ACB上时，
∵ PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴ ∠PAO = ∠PBO = 90°.
∵ ∠APB = 56°，
∴ ∠AOB = 360° - 90° - 90° - 56° = 124°，
∴ ∠ACB = $\frac{1}{2}$∠AOB = 62°. 当点C'在劣弧AB上时，
∵ 四边形AC'BC是⊙O的内接四边形，
∴ ∠C' = 180° - ∠C = 118°. 故答案为62°或118°.

易错警示：根据切线的性质得到∠PAO = ∠PBO = 90°，根据四边形内角和为360°，得出∠AOB的度数. 点C是⊙O上异于点A，B的一点，故点C可能在劣弧AB或在优弧ACB上，需分两种情况求解，不能漏解.