《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

一、选择题(共24分)
1 [2024江苏无锡梁溪区期中]把方程$2x(x-1)= 3x$化成一元二次方程的一般形式,则二次项系数、一次项系数、常数项分别是(B)
A.2,1,0
B.2,-5,0
C.2,-3,-1
D.2,5,0

答案： B 【解析】因为$2x(x-1)=3x$，所以$2x^{2}-2x-3x=0$，所以$2x^{2}-5x=0$，所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-5，0，故选 B.

2 [2024江苏宿迁中考]规定：对于任意实数$a$,$b$,$c$,有$[a,b]★c= ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如$[2,3]★1= 2×1+3= 5$。若关于$x的方程[x,x+1]★(mx)= 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围为(D)
A.$m＜\frac {1}{4}$
B.$m＞\frac {1}{4}$
C.$m＞\frac {1}{4}且m≠0$
D.$m＜\frac {1}{4}且m≠0$

答案： D 【解析】
∵【x，x+1】★(mx)=0，【a，b】★c=ac+b，
∴$x\cdot mx+x+1=0$，即$mx^{2}+x+1=0$.
∵关于x的方程【x，x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根，
∴$1^{2}-4× m×1＞0$，且$m\neq0$，解得$m＜\frac{1}{4}$且$m\neq0$，故选 D.

3 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-kx+k-3= 0的两个实数根分别为x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 5$,则$k$的值是(D)
A.-2
B.2
C.-1
D.1

答案： D 【解析】
∵关于x的一元二次方程$x^{2}-kx+k-3=0$的两个实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，
∴$x_{1}+x_{2}=k$，$x_{1}x_{2}=k-3$.
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5$，
∴$(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=5$，
∴$k^{2}-2(k-3)=5$，整理得$k^{2}-2k+1=0$，解得$k_{1}=k_{2}=1$，
∴原方程为$x^{2}-x-2=0$.
∵$(-1)^{2}-4×1×(-2)=9＞0$，
∴$k=1$符合题意. 故选 D.

4 若$x_{1}是方程ax^{2}+2x+c= 0(a≠0)$的一个根,设$M= (ax_{1}+1)^{2}$,$N= 2-ac$,则$M与N$的大小关系为(B)
A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M= N$
D.不能确定

答案： B 【解析】
∵$x_{1}$是方程$ax^{2}+2x+c=0(a\neq0)$的一个根，
∴$ax_{1}^{2}+2x_{1}+c=0$，即$ax_{1}^{2}+2x_{1}=-c$，则$M-N=(ax_{1}+1)^{2}-(2-ac)=a^{2}x_{1}^{2}+2ax_{1}+1-2+ac=a(ax_{1}^{2}+2x_{1})+ac-1=-ac+ac-1=-1$.
∵$-1＜0$，
∴$M-N＜0$，
∴$M＜N$. 故选 B.

5 [2025江苏镇江期中]如图(1),以直角三角形$ABC$的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按图(2)的方式放置在最大的正方形内。若图(2)中阴影部分的面积为2,且$AB+AC= 8$,则下列数值中可为$BC$长的是(B)
A.8
B.6
C.$\frac {25}{4}$
D.$\frac {13}{2}$

答案： B 【解析】设$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$，则$b^{2}+c^{2}=a^{2}$.
∵阴影部分的面积为2，
∴$(a-c)(a-b)=2$，
∴$a^{2}-a(b+c)+bc=2$.
∵$AB+AC=8$，
∴$b+c=8$，
∴$a^{2}-8a+bc=2$，$(b+c)^{2}=64$，
∴$b^{2}+2bc+c^{2}=64$，
∴$bc=32-\frac{1}{2}a^{2}$，
∴$a^{2}-8a+32-\frac{1}{2}a^{2}=2$，
∴$a^{2}-16a+60=0$，
∴$a_{1}=6$，$a_{2}=10$(舍去)，
∴$BC=6$. 故选 B.

6 新考法欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程$x^{2}+ax= b^{2}$的方法,类似地我们可以用折纸的方法求方程$x^{2}+x-1= 0$的一个正根。如图,一张边长为1的正方形纸片$ABCD$,先折出$AD$,$BC的中点G$,$H$,再折出线段$AN$,然后通过沿线段$AN折叠使AD落在线段AH$上,得到点$D的新位置P$,并连接$NP$,$NH$,此时,在下列四个选项中,有一条线段的长度恰好是方程$x^{2}+x-1= 0$的一个正根,则这条线段是(B)
A.线段$BH$
B.线段$DN$
C.线段$CN$
D.线段$NH$

答案： B 【解析】设$DN=m$，则$NC=1-m$. 由题意可知，$\triangle ADN\cong\triangle APN$，H是BC的中点，
∴$DN=NP=m$，$BH=CH=\frac{1}{2}$.
∵$\angle B=90^{\circ}$，
∴$AH=\sqrt{AB^{2}+BH^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.
∵$S_{正方形ABCD}=S_{\triangle ABH}+S_{\triangle ADN}+S_{\triangle CHN}+S_{\triangle ANH}$，
∴$1×1=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×1× m+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×(1-m)+\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}× m$，
∴$m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵$x^{2}+x-1=0$的解为$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∴取正值为$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴这条线段是线段DN. 故选 B.

二、填空题(共24分)
7 新考向开放性试题[2025江苏镇江期中]已知整数$c$,使方程$x^{2}-2x+c= 0$无实数根,则$c$的值可以是2(答案不唯一)。

答案： 2(答案不唯一) 【解析】由题意得$(-2)^{2}-4×1× c＜0$，
∴$c＞1$. 又
∵c为整数，
∴c的值可以是2. 故答案为2(答案不唯一).

8 [2025江苏泰州期中]已知关于$x的一元二次方程x^{2}+bx+c= 0$没有实数根。甲由于看错了某一项的符号,误求得两根为-1和4,则$2b+3c$的值为____6。

答案： 6 【解析】
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$没有实数根，
∴$b^{2}-4c＜0$. 甲看错了某一项的符号，误求得两根为-1和4，则当甲看错b的符号时，$-1+4=b$，$-1×4=c$，
∴$b=3$，$c=-4$，此时$b^{2}-4c＞0$，故不符合题意，舍去. 当甲看错c的符号时，$-1+4=-b$，$-1×4=-c$，
∴$b=-3$，$c=4$，此时$b^{2}-4c＜0$，故符合题意，
∴$2b+3c=2×(-3)+3×4=6$. 故答案为6.

9 已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4,则这个两位数是84。

答案： 84
思路分析 一元二次方程中的数字问题两位数=十位上的数字×10+个位上的数字
【解析】设这个两位数的个位上的数字为x，则十位上的数字为$x+4$. 根据题意，得$x^{2}+(x+4)^{2}=[10(x+4)+x]-4$. 整理，得$2x^{2}-3x-20=0$，解得$x_{1}=4$，$x_{2}=-2.5$. 又
∵x为非负整数，
∴$x=4$，
∴$10(x+4)+x=10×(4+4)+4=84$. 故答案为84.

10 [2024广东惠州期中]已知$x$,$y$为实数,且满足$x^{2}-xy+4y^{2}= 4$,记$u= x^{2}+xy+4y^{2}的最大值为M$,最小值为$m$,则$M+m= $$\frac{136}{15}$。

答案： $\frac{136}{15}$ 【解析】由$x^{2}-xy+4y^{2}=4$，得$x^{2}+4y^{2}=xy+4$，
∴$u=x^{2}+xy+4y^{2}=2xy+4$. 设$xy=t$. 当$t=0$时，$u=4$；当$t\neq0$时，$y=\frac{t}{x}$. 将$y=\frac{t}{x}$代入$x^{2}-xy+4y^{2}=4$，得$x^{2}-t+\frac{4t^{2}}{x^{2}}=4$，即$x^{4}-(t+4)x^{2}+4t^{2}=0$，由$b^{2}-4ac=(t+4)^{2}-16t^{2}\geq0$，解得$-\frac{4}{5}\leq t\leq\frac{4}{3}$，
∴$xy$的最大值为$\frac{4}{3}$，最小值为$-\frac{4}{5}$. 因此，$M=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}$，$m=-\frac{8}{5}+4=\frac{12}{5}$，则$M+m=\frac{20}{3}+\frac{12}{5}=\frac{136}{15}$. 故答案为$\frac{136}{15}$.

已知实数$x满足x^{2}+\frac {1}{x^{2}}-3(x+\frac {1}{x})+4= 0$,则$x+\frac {1}{x}$的值为____2。

答案： 2 【解析】
∵$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2$，
∴原方程可化为$(x+\frac{1}{x})^{2}-3(x+\frac{1}{x})+2=0$. 设$y=x+\frac{1}{x}$，则方程变形为$y^{2}-3y+2=0$，解得$y=1$或$y=2$. 当$y=1$时，$x+\frac{1}{x}=1$，即$x^{2}-x+1=0$.
∵$(-1)^{2}-4×1×1=-3＜0$，
∴该方程无实数根. 当$y=2$时，$x+\frac{1}{x}=2$，即$x^{2}-2x+1=0$，解得$x_{1}=x_{2}=1$. 经检验，$x=1$是方程$x^{2}-2x+1=0$的根，
∴$x+\frac{1}{x}=2$.

12 [2025辽宁朝阳调研]如图,菱形$ABCD$中,$AC$,$BD交于O$,$AC= 8$,$BD= 6$,动点$M从A出发沿AC$方向以每秒2个单位长度的速度运动到$C$,动点$N从B出发沿BD$方向以每秒1个单位长度的速度运动到$D$,若$M$,$N$同时出发,则出发____1或4秒后,$\triangle MON的面积为菱形ABCD面积的\frac {1}{12}$。

答案： 1或4 【解析】设出发x秒后，$S_{\triangle MON}=\frac{1}{12}S_{菱形ABCD}$.
∵四边形ABCD是菱形，$AC=8$，$BD=6$，
∴$OA=4$，$OB=3$，$AC\perp BD$，$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}×8×6=24$，
∴$S_{\triangle MON}=\frac{1}{12}S_{菱形ABCD}=2$. 当$0＜x＜2$时，点M在线段AO上，点N在线段BO上，此时$OM=OA-AM=4-2x$，$ON=OB-BN=3-x$，则$\frac{1}{2}(4-2x)(3-x)=2$，解得$x=1$或$x=4$(舍去). 当$2＜x＜3$时，点M在线段OC上，点N在线段BO上，此时$OM=AM-OA=2x-4$，$ON=OB-BN=3-x$，则$\frac{1}{2}(2x-4)(3-x)=2$，化简为$x^{2}-5x+8=0$，此时$(-5)^{2}-4×1×8=-7＜0$，
∴原方程无实数根，舍去. 当$x＞3$时，点M在线段OC上，点N在线段OD上，此时$OM=AM-OA=2x-4$，$ON=BN-OB=x-3$，则$\frac{1}{2}(2x-4)(x-3)=2$，解得$x=1$(舍去)或$x=4$. 综上所述，出发1秒或4秒后，$S_{\triangle MON}=\frac{1}{12}S_{菱形ABCD}$. 故答案为1或4.