《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1 [2025江苏苏州质检,中]平面上有四个点,它们不都在同一直线上,过其中三个点作圆,可以作出不重复的圆 $ n $ 个,则 $ n $ 的值不可能为( )

A.4
B.3
C.2
D.1

答案：
1.C　[解析]分为三种情况①当四点都在同一个圆上时，如图
(1)，此时n = 1.

②当三点在同一直线上时，如图
(2).分点A,B,C；A,C,D；A,B,D共圆三种情况，可作3个圆，即此时n = 3.

③当A,B,C,D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，如图
(3)，分点A,B,C；B,C,D；C,D,A；D,A,B共圆四种情况，可作4个圆，即此时n = 4.
综上，n的值不能是2.故选C.

2 [中]如图,线段 $ AB = 6 $,$ C $ 为线段 $ AB $ 上的一个动点,分别以 $ AC $,$ BC $ 为边作等边 $ \triangle ACD $ 和等边 $ \triangle BCE $,$ \odot O $ 外接于 $ \triangle CDE $,则 $ \odot O $ 半径的最小值为( )


A.6
B.$ \sqrt{3} $
C.$ 2\sqrt{3} $
D.3

答案：
2.B　[解析]如图，分别作∠DAC与∠CBE的平分线，交点为P.
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AP与BP分别为CD，CE的垂直平分线.又
∵圆心O在CD，CE的垂直平分线上，
∴交点P与圆心O重合.连接OC.若半径OC最短，则OC⊥AB.
∵∠OAC = ∠OBC = 30°，AB = 6，
∴OA = OB，
∴AC = BC = 3，
∴在Rt△AOC中，OA = 2OC，由勾股定理得OC² = OA² - AC²，
∴3OC² = 9，
∴OC = $\sqrt{3}$，即⊙O半径的最小值为$\sqrt{3}$.故选B.

3 [2025浙江台州期中,中]半径为 $ 5\sqrt{2} $ 的 $ \odot O $ 是锐角三角形 $ ABC $ 的外接圆,$ AB = AC $,连接 $ OB $,$ OC $,延长 $ CO $ 交弦 $ AB $ 于点 $ D $。若 $ \triangle OBD $ 是直角三角形,则弦 $ BC $ 的长为______。

答案：
3.5$\sqrt{6}$或10　[解析]分两种情况①如图
(1)，当∠ODB = 90°，即CD⊥AB时，AD = BD，
∴易得AC = BC.
∵AB = AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = ∠ABC = 60°，
∴∠BCD = 30°.
∵OB = OC，
∴∠OBC = ∠BCD = 30°，
∴∠DBO = 30°.
∵OB = 5$\sqrt{2}$，
∴OD = $\frac{1}{2}$OB = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴由勾股定理得BD = $\frac{5}{2}$$\sqrt{6}$，
∴BC = AB = 2BD = 5$\sqrt{6}$.

②如图
(2)，当∠DOB = 90°时，∠BOC = 90°，
∴△BOC是等腰直角三角形.
∵OB = 5$\sqrt{2}$，
∴BC = $\sqrt{2}$OB = 10.故答案为5$\sqrt{6}$或10.

4 [较难]如图是一个含有 3 个正方形的相框,其中 $ \angle BCD = \angle DEF = 90^{\circ} $,$ AB = 2 $,$ CD = 3 $,$ EF = 5 $,将它镶嵌在一个圆形的金属框上,使 $ A $,$ G $,$ H $ 三点刚好在金属框上,则该金属框的半径是______。

答案：
4.$\frac{5\sqrt{10}}{2}$　[解析]如图，连接AG，作线段AG和线段HG的垂直平分线交于点O，HG的垂直平分线交HG于点K，交EF于点M，连接OG，则A,G,H三点刚好在以点O为圆心，OG为半径的圆上.
∵∠BCD = ∠DEF = 90°，AB = 2，CD = 3，EF = 5，
∴AC = 2$\sqrt{2}$，EC = 3$\sqrt{2}$，EG = 5$\sqrt{2}$，
∴AG = 10$\sqrt{2}$，点E为线段AG的中点.
∵∠GEF = 45°，OE⊥AG，
∴∠OEF = 45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴MO = EM = $\frac{1}{2}$EF.
∵HG = EF = 5，
∴OK = 5 + $\frac{5}{2}$ = $\frac{15}{2}$，KG = $\frac{5}{2}$，
∴OG = $\sqrt{KG² + OK²}$ = $\sqrt{(\frac{5}{2})² + (\frac{15}{2})²}$ = $\frac{5\sqrt{10}}{2}$.故答案为$\frac{5\sqrt{10}}{2}$.

5 核心素养 模型观念 [2025江苏连云港调研,较难]定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖圆。其中,能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆。例如：如图(1),线段 $ AB $ 的最小覆盖圆就是以线段 $ AB $ 为直径的圆。

【初步思考】
(1)边长为 $ 1\ \text{cm} $ 的正方形的最小覆盖圆的半径是______ $ \text{cm} $。
(2)如图(2),边长为 $ 1\ \text{cm} $ 的两个正方形并列在一起,则其最小覆盖圆的半径是______ $ \text{cm} $。
【深入探究】
(1)请分别作出图(3)中两个三角形的最小覆盖圆。(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

(2)如图(4),在正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,$ \triangle ABC $ 的顶点 $ A $ 位于坐标原点,顶点 $ B $,$ C $ 的坐标分别为 $ (4,0) $,$ (3,3) $,则 $ \triangle ABC $ 的最小覆盖圆的圆心坐标为______,半径长为______；如图(5),钝角 $ \triangle MNP $ 中,$ MN = 5 $,$ \angle MPN = 123^{\circ} $,则 $ \triangle MNP $ 的最小覆盖圆的半径长为______。

【生活应用】
某地有四个村庄 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $(其位置如图(6)所示),现拟建一个 5G 网络信号中转站,为了使这四个村庄的居民都能接收到信号,经过工程人员测量得到 $ CD = 8\ \text{km} $ 及图中标注的相关数据,则四边形 $ ABCD $ 区域最小覆盖圆的半径为______。

答案：
5.[解][初步思考]
(1)
∵正方形的边长为1 cm，
∴由勾股定理得正方形的对角线长为$\sqrt{2}$ cm，
∴最小覆盖圆的半径是$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm.故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)由题意得，矩形的长为2 cm，宽为1 cm，
∴由勾股定理得矩形的对角线长为$\sqrt{5}$ cm，
∴最小覆盖圆的半径是$\frac{\sqrt{5}}{2}$ cm.故答案为$\frac{\sqrt{5}}{2}$.
[深入探究]
(1)如图
(1)所示，圆O和圆O'即为所作.

(2)如图
(2)，AB和AC垂直平分线的交点为I(2,1)，
∴OI = $\sqrt{2² + 1²}$ = $\sqrt{5}$，即△ABC的最小覆盖圆的圆心坐标为(2,1)，半径长为$\sqrt{5}$.由题意得，MN的长为△MPN最小覆盖圆的直径.令△MPN最小覆盖圆的圆心为F.
∵MN = 5，
∴FM = FN = $\frac{5}{2}$，
∴△MNP的最小覆盖圆的半径是$\frac{5}{2}$.故答案为(2,1)，$\sqrt{5}$，$\frac{5}{2}$.

[生活应用]如图
(3)，作△ADC的外接圆⊙O.
∵△ADC的最小覆盖圆⊙O可以将四边形ABCD覆盖，
∴四边形ABCD的最小覆盖圆是△ACD的外接圆.作直径DE，连接CE，则∠DCE = 90°.
∵$\overset{\frown}{CD}$ = $\overset{\frown}{CD}$，
∴∠E = ∠DAC = 60°，
∴∠EDC = 30°.在Rt△DCE中，DE = 2CE，CD = 8 km，由勾股定理得DE² = CE² + CD²，即(2CE)² = CE² + 8²，
∴3CE² = 64，
∴CE = $\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$ km，
∴DE = $\frac{16}{3}$$\sqrt{3}$ km，
∴四边形ABCD区域最小覆盖圆的半径为$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$ km.故答案为$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$ km.