《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

6[中]如图,已知⊙O的半径是4,点A,B在⊙O上,且∠AOB= 90°,动点C在⊙O上运动(不与A,B重合),点D为线段BC的中点,连接AD,则线段AD长度的最值是最大值为$2\sqrt{5}+2$,最小值为$2\sqrt{5}-2$.

答案： 最大值为$2\sqrt{5}+2$,最小值为$2\sqrt{5}-2$

(1)探究证明:如图(2),在⊙O上任取一点C(不与点A,B重合),连接PC,OC.求证:PA＜PC.
【证明】∵PO - OC ＜ PC,∴(PA + OA)-OC ＜ PC.∵OA = OC,∴PA ＜ PC.
(2)直接应用:如图(3),在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC= 3,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是____.
$\frac{3\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{2}$
(3)构造运用:如图(4),在边长为2的菱形ABCD中,∠A= 60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'B,则A'B长度的最小值为____.
$\sqrt{3}-1$
(4)综合应用:如图(5),平面直角坐标系中,分别以点A(-2,3),B(4,5)为圆心,以1,2为半径作⊙A,⊙B,M,N分别是⊙A,⊙B上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为____.
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答案：
(1)【证明】
∵PO - OC ＜ PC,
∴(PA + OA)-OC ＜ PC.
∵OA = OC,
∴PA ＜ PC.；
(2)$\frac{3\sqrt{5}}{2}-\frac{3}{2}$；
(3)$\sqrt{3}-1$；
(4)7