《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

8 [中]如图,点A,B的坐标分别是A(4,0),B(0,4),点C为坐标平面内一动点,BC= 2,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为(C)

A.√2 + 1
B.√2 + 1 / 2
C.2√2 + 1
D.2√2 - 1 / 2

答案： C

9 [2025山东烟台期中,较难]如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为4的⊙O与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D,连接BC,已知x轴上一点P(8,0),点Q是⊙O上一动点,连接PQ,点M为PQ的中点,连接BM,CM,则△BCM面积的最小值为$16 - 4\sqrt{2}$.

答案： $16 - 4\sqrt{2}$

如图,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,BC= 3,AC= 5,点D是其内部一动点,且∠DBC= ∠BAD,则C,D两点间的最小距离为(C)
A.3
B.4
C.√13 - 2
D.√13

答案： C

11 [2025河南开封期末,较难]如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别是BC,CD上的动点,且BE= CF,连接AE,BF交于点P,连接CP,则CP的最小值是(A)
A.2√5 - 2
B.3√2 - 2
C.2√2
D.√2 + 2

答案： A

12 [2024福建福州期中,中]如图,正方形ABCD的边长为6,点E是正方形外一动点,且点E在CD的右侧,∠AED= 45°,P为AB的中点,连接PE,当E运动时,线段PE的最大值为(D)
A.6√3
B.6√2
C.3 + 3√3
D.3 + 3√2

答案： D

13 [2025黑龙江绥化期末,较难]如图,已知菱形ABCD中,∠BAD= 120°,点E,F分别在AB,BC上,BE= CF,AF与CE交于点P,连接DP.
(1)求证:∠APE= 60°;
(2)当PC= 1,PA= 5时,求PD的长;
(3)当AB= 2√3时,求PD的最大值.

答案：
(1)[证明]如图
(1)所示，连接AC。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC。
∵∠BAD=120°，
∴∠B=∠ADC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACF=∠CBE=60°，AC=CB。又
∵CF=BE，
∴△ACF≌△CBE(SAS)，
∴∠CAF=∠BCE，
∴∠APE=∠ACE + ∠CAF=∠BCE + ∠ACE=∠ACB=60°。
(2)[解]如图
(2)，延长PC到M，使得CM=AP，连接DM。由
(1)易得∠AFC=∠CEB。
∵菱形ABCD中，AD//BC，AB//CD，
∴∠DAF + ∠AFC=180°，∠DCM=∠AEC，
∴∠CEB + ∠DAF=180°。
∵∠AEC + ∠CEB=180°，
∴∠DAF=∠AEC=∠DCM。又
∵AP=CM，AD=CD，
∴△ADP≌△CDM(SAS)，
∴DP=DM，∠ADP=∠CDM，
∴∠ADC=∠PDM。
∵∠ADC=60°，
∴∠PDM=60°，
∴△PDM是等边三角形，
∴PD=PM=PC + CM=PC + PA=6。
(3)[解]
∵∠APE=60°，
∴∠APC=120°。
∵∠ADC=60°，
∴∠APC + ∠ADC=180°，
∴A，P，C，D四点共圆，
∴当PD为直径时，PD的值最大。设圆心为O，连接OA，OC，过点O作OM⊥AC于M，如图
(3)所示，
∴∠AOC=2∠ADC=120°。
∵OA=OC，
∴∠OAM=30°。
∵AC=AB=2√3，OM⊥AC，
∴AM=$\frac{1}{2}$AC=√3，
∴OM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AM=1，
∴OA=2，
∴PD的最大值为4。

如图,已知点A,B的坐标分别是(0,1),(0,3),点C为x轴正半轴上一动点,当∠ACB最大时,点C的坐标是(B)
A.(2,0)
B.(√3,0)
C.(√2,0)
D.(1,0)

答案： 【解析】：本题可根据圆的性质，通过确定∠ACB最大时点C的位置来求解其坐标。
设点C的坐标为$(x,0)(x\gt0)$，以线段AB为弦，所对圆周角为∠ACB，根据圆周角与圆心角的关系以及圆的性质，当圆与$x$轴相切时，∠ACB最大。
已知$A(0,1)$，$B(0,3)$，则线段$AB$的长度为$3 - 1 = 2$，设圆心为$M$，因为圆与$x$轴相切，所以圆心$M$的纵坐标等于圆的半径。
又因为$AB$为弦，且$AB$垂直于$x$轴，所以圆心$M$在线段$AB$的垂直平分线上，线段$AB$垂直平分线的方程为$y = 2$，即圆心$M$的纵坐标为$2$，那么圆的半径$r = 2$。
设圆心$M$的坐标为$(m,2)$，因为圆与$x$轴相切，所以圆心到$x$轴的距离等于半径，即$M$到$x$轴的距离为$2$。
连接$MA$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，可得$MA = r = 2$，已知$A(0,1)$，$M(m,2)$，则$\sqrt{(m - 0)^2+(2 - 1)^2}= 2$，即$\sqrt{m^2 + 1}= 2$，两边同时平方可得$m^2 + 1 = 4$，移项可得$m^2 = 3$，解得$m = \pm\sqrt{3}$。
因为点$C$在$x$轴正半轴，且圆与$x$轴相切于点$C$时∠ACB最大，此时圆心$M$在$x$轴右侧，所以$m = \sqrt{3}$，即圆心$M$的坐标为$(\sqrt{3},2)$，那么切点$C$的坐标为$(\sqrt{3},0)$。
【答案】：B。