《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1 [2024江苏淮安质检]已知$x_{1},x_{2}是关于x的方程x^{2}-2x - 1 = 0$的两个实数根,下列结论正确的是(B)
A.$x_{1}= x_{2}$
B.$x_{1}^{2}-2x_{1}= x_{2}^{2}-2x_{2}$
C.$x_{1}+x_{2}= -2$
D.$x_{1}\cdot x_{2}= 1$

答案： B 【解析】
∵x₁,x₂是关于x的方程x²-2x-1=0的两个实数根，b²-4ac=(-2)²-4×1×(-1)=4+4=8＞0，
∴x₁≠x₂，故A不符合题意；
∵x₁,x₂是关于x的方程x²-2x-1=0的两个实数根，
∴x₁²-2x₁-1=0，x₂²-2x₂-1=0，
∴x₁²-2x₁=1，x₂²-2x₂=1，
∴x₁²-2x₁=x₂²-2x₂，故B符合题意；
∵x₁,x₂是关于x的方程x²-2x-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=2，x₁·x₂=-1，故C,D不符合题意.故选B.

已知一元二次方程$x^{2}-6x + c = 0$有一个根为2，则另一根是(C)
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$1$

答案： C 【解析】设方程的另一根为a，则a+2=6，解得a=4.故选C.

已知方程$2x^{2}+5x - 2 = 0有两个不相等的实数根m,n$,则下列方程中,两个根分别是$-m,-n$的是(D)
A.$2x^{2}+5x - 2 = 0$
B.$2x^{2}-5x + 2 = 0$
C.$2x^{2}+5x + 2 = 0$
D.$2x^{2}-5x - 2 = 0$

答案： D 【解析】
∵方程2x²+5x-2=0有两个不相等的实数根m,n，
∴m+n=-$\frac{5}{2}$，mn=-1，
∴-m-n=$\frac{5}{2}$，(-m)(-n)=mn=-1，
∴方程2x²-5x-2=0的两个根分别是-m,-n.故选D.

4 [2025江苏无锡调研]写出以$-3和4为根且二次项系数为1$的一元二次方程是x²-x-12=0。(用一般形式表示)

答案： x²-x-12=0 【解析】由根与系数的关系可得，一次项系数为-(-3+4)=-1，常数项为-3×4=-12，
∴符合题意的一元二次方程为x²-x-12=0，故答案为x²-x-12=0.

5 [2024江苏南京质检]设$\alpha,\beta是方程x^{2}-x - 2023 = 0$的两个实数根,则$\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2}$的值为______2024。

答案： 2024 【解析】
∵α,β是方程x²-x-2023=0的两个实数根，
∴由一元二次方程根与系数的关系可得α+β=1，αβ=-2023，
∴α²+αβ+β²=(α+β)²-αβ=1+2023=2024，故答案为2024.

6 设$x_{1}与x_{2}为一元二次方程\frac{1}{2}x^{2}+3x + 2 = 0$的两根,则$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值为20。

答案： 20 【解析】由题意可知x₁+x₂=-6，x₁x₂=4，
∴(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(-6)²-4×4=36-16=20，故答案为20.

7 [2024江苏苏州调研]若$a,b是方程x^{2}+2x - 4 = 0$的两个实数根,则$(a - 2)(b - 2)$的值为4。

答案： 4 【解析】
∵a,b是方程x²+2x-4=0的两个实数根，
∴a+b=-2，ab=-4，
∴(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab-2(a+b)+4=-4-2×(-2)+4=-4+4+4=4，故答案为4.

8 若实数$a,b分别满足a^{2}-4a + 3 = 0,b^{2}-4b + 3 = 0$,且$a\neq b$,则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值为$\frac{4}{3}$。

答案： $\frac{4}{3}$ 【解析】
∵实数a,b分别满足a²-4a+3=0，b²-4b+3=0，且a≠b，
∴a,b可看作方程x²-4x+3=0的两个不相等的实数根，则a+b=4，ab=3，则原式=$\frac{a+b}{ab}=\frac{4}{3}$，故答案为$\frac{4}{3}$.

9 [2025广东深圳期中]已知实数$\alpha,\beta满足3\alpha^{2}+5\alpha - 1 = 0,\beta^{2}-5\beta - 3 = 0且\alpha\beta\neq1$,则$\frac{\alpha}{\beta}$的值为______$-\frac{1}{3}$。

答案： $-\frac{1}{3}$ 【解析】
∵方程β²-5β-3=0可变形为3×$\frac{1}{β²}$+5×$\frac{1}{β}$-1=0，且实数α,β满足3α²+5α-1=0，β²-5β-3=0且αβ≠1，
∴α,$\frac{1}{β}$是方程3x²+5x-1=0的两个根，
∴α·$\frac{1}{β}=\frac{α}{β}=-\frac{1}{3}$，故答案为$-\frac{1}{3}$.

若一个菱形的两条对角线长分别是关于$x的一元二次方程x^{2}-10x + m = 0$的两个实数根,且其面积为$11$,则该菱形的边长为(C)
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$

答案： C 【解析】设方程x²-10x+m=0的两根分别为a,b，
∴a+b=10.
∵a,b分别是一个菱形的两条对角线长，且菱形的面积为11，
∴$\frac{1}{2}$ab=11，即ab=22.
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为$\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-2ab}=\frac{1}{2}\sqrt{10^2-2×22}=\sqrt{14}$.故选C.

11 [2024江西南昌质检]若一元二次方程$x^{2}-8x + 3 = 0的两个实数根分别是a,b$,则关于$x的一次函数y = abx - a - b$的图像一定不经过第二象限。

答案： 二 【解析】
∵方程x²-8x+3=0的两个实数根分别是a,b，
∴a+b=8，ab=3，则一次函数的表达式为y=3x-8，
∴该一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为二.

12 [2025江苏无锡调研]已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}= 0$有两个不相等的实数根。
(1)求实数$m$的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽,该矩形的对角线长为$4$,求实数$m$的值。

答案： 【解】
(1)
∵关于x的一元二次方程x²-2(m+1)x+m²=0有两个不相等的实数根，
∴b²-4ac=[-2(m+1)]²-4m²＞0，
∴4(m+1)²-4m²＞0，
∴4m²+8m+4-4m²＞0，
∴m＞-$\frac{1}{2}$.
(2)设该方程的两个实数根为x₁,x₂，
∴x₁+x₂=2(m+1)=2m+2，x₁x₂=m².
∵该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形的对角线长为4，
∴由矩形的性质和勾股定理可得x₁²+x₂²=4²，
∴(x₁+x₂)²-2x₁x₂=16，
∴(2m+2)²-2m²=16，
∴4m²+8m+4-2m²=16，
∴m²+4m-6=0，解得m=-2+$\sqrt{10}$或m=-2-$\sqrt{10}$(舍去).

13 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}= 0有两个实数根x_{1}和x_{2}$。当$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}= 0$时,$m$的值为$\frac{1}{4}$。

答案： $\frac{1}{4}$ 【解析】根据题意得b²-4ac=(2m-1)²-4m²≥0，
∴-4m+1≥0，
∴m≤$\frac{1}{4}$.
∵x₁²-x₂²=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0.当x₁+x₂=0时，-(2m-1)=0，解得m=$\frac{1}{2}$，而m≤$\frac{1}{4}$，所以舍去；当x₁-x₂=0时，b²-4ac=(2m-1)²-4m²=0，即-4m+1=0，解得m=$\frac{1}{4}$.综上，m的值为$\frac{1}{4}$.
关键点拨解本题的关键是综合利用根的判别式和根与系数的关系判断解的情况.
易错警示利用一元二次方程的根与系数的关系求方程中字母参数的值时，千万不要忘记先利用方程有实数根得到b²-4ac≥0，进而求出字母的取值范围.因为根与系数的关系是在一元二次方程有根的前提下使用的.