《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1 [2025 江苏淮安调研]下列各图中,$∠BAC$为圆周角的是 (D)

答案： D 【解析】A选项中，∠BAC的边AC没有与圆相交，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；B选项中，∠BAC的边AC、AB都没有与圆相交，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；C选项中，∠BAC的顶点没在圆上，所以∠BAC不是圆周角，故此选项不符合题意；D选项中，∠BAC符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意。故选D。

如图,$∠1\sim ∠5$这五个角中,$\overset{\frown }{AD}$所对的圆周角是 (C)
A.$∠5$
B.$∠1和∠2$
C.$∠3和∠4$
D.$∠1和∠3$

答案： C 【解析】∠1与∠2是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，∠3与∠4是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，∠5不是圆周角。故选C。

3 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown }{AB}= \overset{\frown }{AC}$,$∠AOB= 40^{\circ }$,则$∠ADC$的度数是 ( )


A.$40^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$20^{\circ }$
D.$15^{\circ }$

答案：
C
思路分析：构造→转化→倍分

【解析】连接CO。
∵在$\odot O$中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
∴∠AOC = ∠AOB。
∵∠AOB = 40°，
∴∠AOC = 40°，
∴∠ADC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 20°，故选C。

4 如图,已知 A,B,C 三点都在$\odot O$上,$∠B= \frac {1}{2}∠A$,$∠A= 45^{\circ }$,若$\triangle ABC$的面积为 2,则$\odot O$的半径为 ( )


A.4
B.2
C.$\frac {1+\sqrt {33}}{4}$
D.$\frac {\sqrt {33}-1}{4}$

答案：
B 【解析】连接OA、OB、OC，如图。
∵∠CAB = 45°，∠ABC = $\frac{1}{2}$∠BAC，

∴∠BOC = 90°，∠ABC = 22.5°。
∵OB = OC，
∴∠OCB = 45°。
∵∠AOC = 2∠ABC = 45°，
∴∠OCB = ∠AOC，
∴OA//BC，
∴$S_{\triangle OBC}=S_{\triangle ABC}=2$，
∴$\frac{1}{2}OB\cdot OC = 2$，
∴OB = 2（负值已舍去），故选B。

5 [2024 江苏南京调研]如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 8$,$DE⊥AB$于 D,若$\triangle ABC$的外心 O 在线段 DE 上,$∠BOC= 120^{\circ }$,则$DE= $____.

答案：
$4\sqrt{3}$ 【解析】如图，作△ABC的外接圆$\odot O$，连接OA。
∵∠BOC = 120°，
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠BOC = 60°。
∵OA = OB，OD⊥AB，
∴AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}×8 = 4$。在Rt△ADE中，
∵∠BAC = 60°，
∴∠AED = 30°，
∴AE = 2AD = 8，
∴由勾股定理得DE = $\sqrt{AE^2 - AD^2}=4\sqrt{3}$，故答案为$4\sqrt{3}$。

6 如图,在$\odot O$中,BC 是直径,点 C 和点 D 是$\odot O$上的点,且$∠ABC= 30^{\circ }$,$∠DBC= 45^{\circ }$,请补全图形,并求出$∠AOD$的度数.

答案：
【解】补全图形如图所示。当点D在图
(1)所示的位置时，
∵∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 30° + 45° = 75°，
∴∠AOD = 150°。
当点D在图
(2)所示的位置时，
∵∠ABD = ∠CBD - ∠ABC = 45° - 30° = 15°，
∴∠AOD = 30°。综上所述，∠AOD的度数为150°或30°。

7 [2024 甘肃定西期末]已知：$\odot O$的两条弦 AB,CD 相交于点 M,且$AB= CD$.
(1)如图(1),连接 AD. 求证：$AM= DM$.
(2)如图(2),若$AB⊥CD$,在$\overset{\frown }{BD}$上取一点 E,使$\overset{\frown }{BE}= \overset{\frown }{BC}$,AE 交 CD 于点 F,连接 AD,DE. 判断$∠E与∠DFE$是否相等,并说明理由.

答案：

(1)【证明】
∵AB = CD，
∴$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{BD}$，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴∠A = ∠D，
∴AM = DM。
(2)【解】∠E与∠DFE相等。理由如下：连接AC，如图。
∵$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BC}$，
∴∠CAB = ∠EAB。
∵AB⊥CD，AM = AM，
∴△ACM≌△AFM(ASA)，
∴∠ACF = ∠AFC。
∵∠ACF = ∠E，∠AFC = ∠DFE，
∴∠DFE = ∠E。

8 如图,$\odot O$的半径为 1,AB 是$\odot O$的一条弦,且$AB= 1$,则弦 AB 所对的圆周角的度数为____.

答案：
30°或150° 【解析】如图，连接OA、OB。
∵$\odot O$的半径为1，且AB = 1，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB = 60°，
∴∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°，∠α = 360° - ∠AOB = 300°，
∴∠ADB = 150°，
∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°。