《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1[中]设m是方程$x^{2}+5x= 0$的一个较大的根,n是方程$x^{2}-x-6= 0$的一个较小的根,则$m+n$的值是(C)
A.-4
B.-3
C.-2
D.2

答案： C

定义新运算“※”如下:当$a≥b$时,$a※b= ab+b$;当$a\lt b$时,$a※b= ab-a$.若$(2x-1)※(x+2)= 0$,则$x= $-1或1/2.

答案： -1或1/2

一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的两根为$x_{1},x_{2}$,根据一元二次方程的解的概念,知$ax^{2}+bx+c= a(x-x_{1})(x-x_{2})= 0$,这样我们可以在实数范围内分解因式.根据示例,在实数范围内分解因式:$2x^{2}+2x-1= $2(x+(1-√3)/2)(x+(1+√3)/2).

答案： 2(x+(1-√3)/2)(x+(1+√3)/2)

4[2025江苏南京质检,中]【阅读与理解】将$x^{2}+2x-35$分解因式,我们可以按下面方法:
①竖分二次项与常数项:$x^{2}= x\cdot x,-35= (-5)×(+7).$
②交叉相乘,验中项(交叉相乘后的结果相加,其结果须等于多项式中的一次项):
$x+7= 7x$
$x-5= -5x$
$7x+(-5x)= 2x.$
③横向写出两因式:$x^{2}+2x-35= (x+7)(x-5).$
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”.
根据乘法原理:若$ab= 0$,则$a= 0或b= 0$.所以方程$x^{2}+2x-35= 0$可以这样求解:方程左边因式分解得$(x+7)(x-5)= 0$,所以原方程的解为$x_{1}= -7,x_{2}= 5.$
【解决问题】
(1)试用上述方法和原理解下列方程:
①$x^{2}-10x+21= 0$;②$x^{2}+5x+4= 0$;③$x^{2}-6x-7= 0.$
(2)解方程$2024x^{2}+2019x-5= 0.$

答案： 【解】
(1)①方程左边因式分解，得(x-7)(x-3)=0，
∴x-7=0或x-3=0，
∴x₁=7，x₂=3.
②方程左边因式分解，得(x+1)(x+4)=0，
∴x+1=0或x+4=0，
∴x₁=-1，x₂=-4.
③方程左边因式分解，得(x+1)(x-7)=0，
∴x+1=0或x-7=0，
∴x₁=-1，x₂=7.
(2)方程左边因式分解，得(2024x-5)(x+1)=0，
∴2024x-5=0或x+1=0，
∴x₁=5/2024，x₂=-1.

5核心素养应用意识[2024河南新乡期中,较难]已知实数m,n满足$(2m^{2}+n^{2}+1)(2m^{2}+n^{2}-1)= 80$,试求$2m^{2}+n^{2}$的值.
解:设$2m^{2}+n^{2}= y$,则原方程可转化为$(y+1)(y-1)= 80$,即$y^{2}= 81,\therefore y= \pm 9.\because 2m^{2}+n^{2}≥0,\therefore 2m^{2}+n^{2}= 9.$
用上面学到的换元法解决下列问题:
(1)已知实数x,y满足$(x^{2}+y^{2}+3)(x^{2}+y^{2}-3)= 27$,求$x^{2}+y^{2}$的值;
(2)解方程:$x^{2}-3|x|+2= 0;$
(3)若四个连续整数的积为120,直接写出这四个连续的整数.

答案： 【解】
(1)
∵(x²+y²+3)(x²+y²-3)=27，
∴设m=x²+y²，则原方程可转化为(m+3)(m-3)=27，即m²-9=27，
∴m²=36，
∴m=±6.
∵x²+y²≥0，
∴x²+y²=6.
(2)由x²-3|x|+2=0，得|x|²-3|x|+2=0. 设|x|=t，则t≥0，
∴t²-3t+2=(t-1)(t-2)=0，
∴t-1=0或t-2=0，
∴t₁=1，t₂=2，
∴|x|=1或|x|=2，
∴x₁=-1，x₂=1，x₃=-2，x₄=2.
(3)设最小整数为x，则x(x+1)(x+2)(x+3)=120，即(x²+3x)(x²+3x+2)=120. 设x²+3x=y，则y²+2y-120=0，
∴y₁=-12，y₂=10. 当x²+3x=-12，即x²+3x+12=0时，b²-4ac=3²-4×12=-39＜0，
∴此方程无实数解. 当x²+3x=10时，解得x₁=2，x₂=-5，
∴这四个连续的整数为2，3，4，5或-5，-4，-3，-2.