《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

13 解方程：
(1)$x^{2}-6x+7= 0$。
(2)$x(x-2)= 3x-6$。
(3)$(2x+3)(x-6)= 16$(用配方法)。

答案： 【解】
(1)
∵$a=1$，$b=-6$，$c=7$，$b^{2}-4ac=36-28=8＞0$，
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{6\pm2\sqrt{2}}{2}=3\pm\sqrt{2}$，
∴$x_{1}=3+\sqrt{2}$，$x_{2}=3-\sqrt{2}$；
(2)方程整理，得$x(x-2)=3(x-2)$. 移项，得$x(x-2)-3(x-2)=0$. 分解因式，得$(x-3)(x-2)=0$. 可得$x-3=0$或$x-2=0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=2$；
(3)$(2x+3)(x-6)=16$，$2x^{2}-12x+3x-18=16$，$2x^{2}-9x=34$，$x^{2}-\frac{9}{2}x=17$，$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$，$(x-\frac{9}{4})^{2}=\frac{353}{16}$，$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$，
∴$x_{1}=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$，$x_{2}=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$.

14 [2025江苏南京期末]已知关于$x的方程(m^{2}-1)x^{2}-3(3m-1)x+18= 0$有两个正整数根($m$是整数),$\triangle ABC的三边a$,$b$,$c满足c= 2\sqrt {3}$,$m^{2}+a^{2}m-8a= 0$,$m^{2}+b^{2}m-8b= 0$。
(1)求$m$的值。
(2)求$\triangle ABC$的面积(结果允许保留双重根号)。

答案： 【解】
(1)
∵关于x的方程有两个正整数根，
∴$m^{2}-1\neq0$，
∴$m\neq\pm1$. 解方程$(m^{2}-1)x^{2}-3(3m-1)x+18=0$，得$x_{1}=\frac{6}{m+1}$，$x_{2}=\frac{3}{m-1}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}m+1=1,2,3,6,\\m-1=1,3,\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}m=0,1,2,5,\\m=2,4,\end{array}\right.$
∴$m=2$；
(2)将$m=2$代入两等式，化简得$a^{2}-4a+2=0$，$b^{2}-4b+2=0$. 当$a=b$时，$a=b=2\pm\sqrt{2}$. 当$a\neq b$时，a，b是方程$x^{2}-4x+2=0$的两根，显然$b^{2}-4ac＞0$，
∴$a+b=4＞0$，$ab=2＞0$，
∴$a＞0$，$b＞0$，符合题意. 分三种情况：
①当$a\neq b$，$c=2\sqrt{3}$时，
∵$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=4^{2}-2×2=12=c^{2}$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle C=90^{\circ}$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=1$；
②当$a=b=2-\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$时，
∵$a+b＜c$，
∴不能构成三角形，不合题意，故舍去；
③当$a=b=2+\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{3}$时，
∵$a+b＞c$，
∴能构成三角形，符合题意. 易得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{(2+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9+12\sqrt{2}}$.
综上，$\triangle ABC$的面积为1或$\sqrt{9+12\sqrt{2}}$.

15 新素材[2025江苏盐城调研]2024年巴黎奥运会顺利闭幕,吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱,一商场以20元/个的进价购进一批“弗里热”纪念品,以30元/个的单价售出,每周可以卖出500个,经过市场调查发现,单价每涨5元,就少卖50个。
(1)若商场计划一周的利润达到8000元,并且让利于消费者,则售价应为多少？
(2)因商场改变销售策略,在不改变(1)的销售价格的基础上,销售量稳步提升,两周后销售量达到了484个,求这两周销售量的平均增长率。

答案： 【解】
(1)设售价为x元/个，则$(x-20)\left[500-\frac{50}{5}(x-30)\right]=8000$，整理得$x^{2}-100x+2400=0$，解得$x_{1}=40$，$x_{2}=60$.
∵要让利于消费者，
∴$x=40$，
∴售价应为40元/个；
(2)由
(1)得当售价为40元/个时，销售量为400个. 设这两周销售量的平均增长率为y，则$400(1+y)^{2}=484$，解得$y_{1}=0.1=10\%$，$y_{2}=-2.1$(不符合题意，舍去)，
∴这两周销售量的平均增长率为10%.

(1)当$M= x^{2}+2x-3$,$N= x-1$时,该类型方程的根的情况是(B)
A.有三个实数根,它们各不相等
B.有三个实数根,有且只有两个根相等
C.有三个实数根,它们都相等
D.没有实数根
(2)下列“$M\cdot N= 0$”型的方程中：
①$(x^{2}-2x+1)(2x^{2}-4x+2)= 0$；
②$(x^{2}-4x+4)(x^{2}-6x+9)= 0$；
③$(x^{2}+4x)(x^{2}-4x)= 0$；
④$(x^{2}+3x+2)(x^{2}+8x+15)= 0$；
⑤$(x^{2}-36)(x^{2}-12x+36)= 0$。
至少有两个相等的实数根的方程是____①②③⑤(填序号)。
(3)当$M= x^{2}+3x+c$,$N= x^{2}-3x+c$($c$是常数)时,请写出“$M\cdot N= 0$”型方程的根的情况及对应的$c$的取值范围。
【解】由题意得$M\cdot N=(x^{2}+3x+c)(x^{2}-3x+c)=0$，∴$x^{2}+3x+c=0$或$x^{2}-3x+c=0$，两方程的根的判别式均为$9-4c$.
①当$9-4c＜0$，即$c＞\frac{9}{4}$时，$(x^{2}+3x+c)(x^{2}-3x+c)=0$没有实数根.
②当$9-4c\geq0$，即$c\leq\frac{9}{4}$时，分别解得$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{9-4c}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{9-4c}}{2}$，$x_{3}=\frac{3+\sqrt{9-4c}}{2}$，$x_{4}=\frac{3-\sqrt{9-4c}}{2}$. 当$c＜\frac{9}{4}$且$c\neq0$时，原方程的四个实数根互不相等(即$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$互不相等)；当$c=0$时，原方程的四个实数根中有且只有两个根相等(即$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$互不相等，$x_{1}=x_{4}$)；当$c=\frac{9}{4}$时，原方程的四个实数根中有两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等(即$x_{1}=x_{2}$，$x_{3}=x_{4}$，$x_{1}\neq x_{3}$).

答案： 【解】
(1)
∵$M\cdot N=(x^{2}+2x-3)(x-1)=(x+3)(x-1)^{2}=0$，
∴$x+3=0$或$(x-1)^{2}=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=x_{3}=1$，故选 B；
(2)①
∵$(x^{2}-2x+1)(2x^{2}-4x+2)=0$，
∴$2(x-1)^{4}=0$，
∴$x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=1$；②
∵$(x^{2}-4x+4)(x^{2}-6x+9)=0$，
∴$(x-2)^{2}(x-3)^{2}=0$，
∴$x_{1}=x_{2}=2$，$x_{3}=x_{4}=3$；③
∵$(x^{2}+4x)(x^{2}-4x)=0$，
∴$x^{2}(x+4)(x-4)=0$，
∴$x_{1}=x_{2}=0$，$x_{3}=-4$，$x_{4}=4$；④
∵$(x^{2}+3x+2)(x^{2}+8x+15)=0$，
∴$(x+1)(x+2)(x+3)(x+5)=0$，
∴$x_{1}=-1$，$x_{2}=-2$，$x_{3}=-3$，$x_{4}=-5$；⑤
∵$(x^{2}-36)(x^{2}-12x+36)=0$，
∴$(x+6)(x-6)^{3}=0$，
∴$x_{1}=-6$，$x_{2}=x_{3}=x_{4}=6$. 综上，至少有两个相等的实数根的方程是①②③⑤. 故答案为①②③⑤；
(3)由题意得$M\cdot N=(x^{2}+3x+c)(x^{2}-3x+c)=0$，
∴$x^{2}+3x+c=0$或$x^{2}-3x+c=0$，两方程的根的判别式均为$9-4c$.
①当$9-4c＜0$，即$c＞\frac{9}{4}$时，$(x^{2}+3x+c)(x^{2}-3x+c)=0$没有实数根.
②当$9-4c\geq0$，即$c\leq\frac{9}{4}$时，分别解得$x_{1}=\frac{-3+\sqrt{9-4c}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{9-4c}}{2}$，$x_{3}=\frac{3+\sqrt{9-4c}}{2}$，$x_{4}=\frac{3-\sqrt{9-4c}}{2}$. 当$c＜\frac{9}{4}$且$c\neq0$时，原方程的四个实数根互不相等(即$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$，$x_{4}$互不相等)；当$c=0$时，原方程的四个实数根中有且只有两个根相等(即$x_{1}$，$x_{2}$，$x_{3}$互不相等，$x_{1}=x_{4}$)；当$c=\frac{9}{4}$时，原方程的四个实数根中有两个根相等，另外两个根也相等，但它们不全相等(即$x_{1}=x_{2}$，$x_{3}=x_{4}$，$x_{1}\neq x_{3}$).