《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1 [2025江苏连云港调研]如图,已知扇形AOB的半径为6cm,圆心角的度数为120°,若将此扇形围成一个圆锥的侧面(无重叠且无缝隙),则围成的圆锥底面圆的半径为(B)

A.1cm
B.2cm
C.3cm
D.4cm

答案： B 【解析】设围成的圆锥的底面圆的半径为r cm. 根据题意得 $2\pi r=\frac{120\pi × 6}{180}$，解得 $r=2$，即围成的圆锥的底面圆的半径为2 cm. 故选 B.

已知圆锥的底面半径为3,母线长为12,则其侧面展开扇形的圆心角的度数为90°。

答案： 90 【解析】设该圆锥侧面展开扇形的圆心角的度数为 $n^{\circ}$，则 $2\pi × 3=\frac{n\pi × 12}{180}$，解得 $n=90$，故答案为 90.

3 [2025江苏无锡期末]若圆锥的底面圆半径是1cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为$\sqrt{15}$cm。

答案： $\sqrt{15}$ 【解析】设圆锥的母线长为 $l$ cm. 根据题意得 $2\pi \cdot 1=\frac{90\pi l}{180}$，解得 $l=4$，即圆锥的母线长为4 cm，
∴ 圆锥的高为 $\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$ (cm)，故答案为 $\sqrt{15}$.

4 [2024江苏徐州调研]如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r= 2cm,扇形的圆心角θ= 120°,则该圆锥的母线长l为6cm。

答案： 6 【解析】圆锥底面圆的周长为 $2\pi × 2=4\pi$ (cm)，则 $\frac{120\pi × l}{180}=4\pi$，解得 $l=6$. 故答案为 6.

5 圆锥的高是4cm,其底面圆半径为3cm,则它的侧面展开图的面积为(C)
A.$12\pi cm^{2}$
B.$24\pi cm^{2}$
C.$15\pi cm^{2}$
D.$30\pi cm^{2}$

答案： C 【解析】这个圆锥的母线长为 $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ (cm)，所以这个圆锥的侧面积为 $\frac{1}{2}× 2\pi × 3× 5=15\pi$ ($cm^{2}$). 故选 C.

6 设圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为l,且满足2r + l = 6,则这样的圆锥的侧面积(C)
A.有最大值$\frac{9}{4}\pi$
B.有最小值$\frac{9}{4}\pi$
C.有最大值$\frac{9}{2}\pi$
D.有最小值$\frac{9}{2}\pi$

答案： C 【解析】
∵ $2r+l=6$，
∴ $l=6-2r$，
∴ 圆锥的侧面积为 $\pi rl=\pi r(6-2r)=-2\pi (r^{2}-3r)=-2\pi \left[(r-\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}\right]=-2\pi (r-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{2}\pi$，
∴ 当 $r=\frac{3}{2}$ 时，圆锥的侧面积有最大值，为 $\frac{9}{2}\pi$. 故选 C.

7 [2024江苏南京栖霞区调研]如图,要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计),若该圆锥的底面圆周长为$20\pi cm$,侧面积为$240\pi cm^{2}$,则这个扇形的圆心角的度数是150度。

答案： 150 【解析】设圆锥的母线长为 $l$ cm，扇形的圆心角为 $n^{\circ}$. 由题意得 $\frac{1}{2}× 20\pi × l=240\pi$，解得 $l=24$.
∵ 圆锥的底面圆周长为 $20\pi$ cm，
∴ 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为 $20\pi$ cm，
∴ $\frac{n\pi × 24}{180}=20\pi$，解得 $n=150$，即扇形的圆心角为 $150^{\circ}$，故答案为 150.

(1)△ABC外接圆的圆心P的坐标是(5,2)；
(2)求圆心P到弦AC的距离；
令 AC 的中点为 D，如图. 根据中点公式，可得 AC 的中点 D 的坐标为(2,3)，∴ 点 P 到弦 AC 的距离为 $\sqrt{(5-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{10}$
(3)以BC所在直线为旋转轴,将△ABC旋转一周,求所得几何体的表面积。
旋转后的几何体为底面半径为 2，高为 6 的圆锥减去底面半径为 2，高为 2 的圆锥. ∵ $AC=\sqrt{(3-1)^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$，$AB=\sqrt{(3-1)^{2}+(6-4)^{2}}=2\sqrt{2}$，∴ 所得几何体表面积为 $2\sqrt{10}× 2\pi +2\sqrt{2}× 2\pi =4\sqrt{10}\pi +4\sqrt{2}\pi$

答案：
(1)(5,2)；
(2)令 AC 的中点为 D，如图. 根据中点公式，可得 AC 的中点 D 的坐标为(2,3)，
∴ 点 P 到弦 AC 的距离为 $\sqrt{(5-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{10}$；
(3)旋转后的几何体为底面半径为 2，高为 6 的圆锥减去底面半径为 2，高为 2 的圆锥.
∵ $AC=\sqrt{(3-1)^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$，$AB=\sqrt{(3-1)^{2}+(6-4)^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴ 所得几何体表面积为 $2\sqrt{10}× 2\pi +2\sqrt{2}× 2\pi =4\sqrt{10}\pi +4\sqrt{2}\pi$.

9 如图,矩形纸片ABCD中,AD= 9cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则AB的长为______6 cm。

答案： 6 cm 【解析】设圆锥的底面圆的半径为 $r$ cm，则 $DE=2r$ cm，$AE=AB=(9-2r)$ cm. 根据题意得 $\frac{90\pi × (9-2r)}{180}=2\pi r$，解得 $r=\frac{3}{2}$，所以 $AB=9-2r=9-2× \frac{3}{2}=6$ (cm).