《2025年初中必刷题九年级数学上册苏科版》

1 [2025 江苏连云港调研,中]已知关于 x 的方程$4x^{2}-px+q= 0通过配方可变形为(x-\frac {1}{4})^{2}= \frac {33}{16}$,则$\frac {q}{p}$的值为 (A)
A.-4
B.4
C.-8
D.8

答案： A【解析】
∵4x²-px+q=0，
∴x²-p/4x=-q/4，
∴x²-p/4x+(p/8)²=-q/4+(p/8)²，
∴(x-p/8)²=(p²-16q)/64，
∴{(p/8)=1/4,(p²-16q)/64=33/16,解得{p=2,q=-8,
∴q/p=-8/2=-4，故选A.

已知方程$x^{2}-|2x-1|-4= 0$,则满足该方程的所有根之和为 (A)
A.$2-\sqrt {6}$
B.$1-\sqrt {6}$
C.0
D.1

答案： A【解析】当2x-1≥0，即x≥1/2时，原方程化为x²-2x-3=0，配方得(x-1)²-4=0，
∴x₁=3，x₂=-1（舍去），
∴x=3；当2x-1＜0，即x＜1/2时，原方程化为x²+2x-5=0，
∴(x+1)²=6，
∴x₁=-1+√6（舍去），x₂=-1-√6，
∴x=-1-√6，
∴3+(-1-√6)=2-√6.故选A.

3 [2025 福建泉州期中,中]已知实数 a 满足$3a^{2}+\frac {3}{a^{2}}-12a-\frac {12}{a}+19= 1$,则$a+\frac {1}{a}=$2.

答案： 2【解析】
∵3a²+3/a²-12a-12/a+19=1，
∴3(a+1/a)²-6-12(a+1/a)+19=1，整理得(a+1/a)²-4(a+1/a)+4=0，
∴[(a+1/a)-2]²=0，
∴a+1/a=2，故答案为2.

已知$9x^{2}+18(n-1)x+18n$是完全平方式,则常数 n 的值是____2±√3.

答案： 2±√3【解析】
∵原式=(3x)²±2×3x×3√2n+(3√2n)²=(3x±3√2n)²，
∴18√2n=18(n-1)，即(n-1)²=2n，
∴n²-4n+1=0，则n²-4n+4-4+1=0，即(n-2)²=3，
∴n-2=±√3，
∴n=2±√3，故答案为2±√3.

5 判断代数式的正负 [2025 山东枣庄期末,中]无论 a,b 为何值,代数式$a^{2}+4b^{2}+8a-12b+26$的值总是 (B)
A.非负数
B.正数
C.0
D.负数

答案： B【解析】a²+4b²+8a-12b+26=(a+4)²-16+(2b-3)²-9+26=(a+4)²+(2b-3)²+1.
∵(a+4)²≥0，(2b-3)²≥0，
∴a²+4b²+8a-12b+26≥1.故选B.

6 比较大小 [2025 江苏徐州期中,中]若 m 为实数,$P= -m^{2}-m+1,Q= m^{2}-5m+4$,则比较 P,Q 的大小可得P＜Q(用“＜”连接).

答案： P＜Q【解析】Q-P=(m²-5m+4)-(-m²-m+1)=m²-5m+4+m²+m-1=2m²-4m+3=2(m-1)²+1.
∵(m-1)²≥0，
∴2(m-1)²+1≥1，即Q-P≥1，
∴P＜Q，故答案为P＜Q.

7 判断三角形形状 [2025 广东揭阳期中,中]若a,b,c为$\triangle ABC$的三边长,且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca= 0$,则$\triangle ABC$是等边三角形.

答案： 等边【解析】
∵a²+b²+c²-ab-bc-ca=0，
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0，
∴(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²)=0，
∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.

(1)$-x^{2}+4x-1$的最大值为3;
(2)求$4x^{2}+2y^{2}-4y-4x+15$的最小值.
【解】$4x^{2}+2y^{2}-4y-4x+15=4x^{2}-4x+1+2y^{2}-4y+2+12=(2x-1)^{2}+2(y²-2y+1)+12=(2x-1)^{2}+2(y-1)^{2}+12$.$\because (2x-1)^{2}\geq 0$，$2(y-1)^{2}\geq 0$，$\therefore 4x^{2}+2y^{2}-4y-4x+15\geq 12$，$\therefore 4x^{2}+2y^{2}-4y-4x+15$的最小值为12.

答案： 【解】
(1)-x²+4x-1=-(x²-4x)-1=-(x²-4x+4-4)-1=-(x-2)²+4-1=-(x-2)²+3.
∵-(x-2)²≤0，
∴-(x-2)²+3≤3，
∴-(x-2)²+3的最大值为3，即-x²+4x-1的最大值为3.
(2)4x²+2y²-4y-4x+15=4x²-4x+1+2y²-4y+2+12=(2x-1)²+2(y²-2y+1)+12=(2x-1)²+2(y-1)²+12.
∵(2x-1)²≥0，2(y-1)²≥0，
∴4x²+2y²-4y-4x+15≥12，
∴4x²+2y²-4y-4x+15的最小值为12.

9 思想方法 数形结合 [较难]如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,以点 B 为圆心,BC 长为半径画弧,交线段 AB 于点 D,连接 CD. 以点 A 为圆心,AC 长为半径画弧,交线段 AB 于点 E,连接 CE.
(1)求$∠DCE$的度数.
(2)设$BC= a,AC= b$.
①线段 BE 的长是关于 x 的方程$x^{2}+2bx-a^{2}= 0$的一个根吗? 说明理由.
②若 D 为 AE 的中点,求$\frac {a}{b}$的值.

答案： 【解】
(1)
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC.
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC.
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE-∠DCE=90°.又
∵在△DCE中，∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°，
∴90°+2∠DCE=180°，
∴∠DCE=45°.
(2)①线段BE的长是关于x的方程x²+2bx-a²=0的一个根.理由如下：由勾股定理得AB=√(BC²+AC²)=√(a²+b²)，
∴BE=√(a²+b²)-b.解关于x的方程x²+2bx-a²=0，得x=√(a²+b²)-b或x=-√(a²+b²)-b，
∴线段BE的长是关于x的方程x²+2bx-a²=0的一个根.
②
∵D为AE的中点，
∴AD=DE=b/2.由勾股定理得a²+b²=(b/2+a)²，则3/4b²-ab=0.又a≠0，b≠0，故3/4b-a=0，整理得a/b=3/4.