《2025年名校题库七年级数学上册》

1. (金牛区期末)甲、乙两地相距 400 km,A 车从甲地开出前往乙地,速度为 60 km/h,B 车从乙地开出前往甲地,速度为 90 km/h. 设两车相遇的地点离甲地 x km,则可列方程为 ( )

A.$\frac {x}{60}= \frac {400-x}{90}$
B.$60x+90x= 400$
C.$\frac {400-x}{60}= \frac {x}{90}$
D.$\frac {x}{60}= 400-\frac {x}{90}$

答案： A

2. (天府新区期末)《九章算术》中记载了这样一个数学问题:今有甲发长安,五日至齐;乙发齐,七日至长安. 今乙发已先二日,甲仍发长安. 问几何日相逢? 译文:甲从长安出发,5 日到齐国;乙从齐国出发,7 日到长安. 现乙先出发 2 日,甲才从长安出发. 问:多久后甲、乙相逢? 设乙出发 x日,甲、乙相逢,则可列方程 ( )

A.$\frac {x+2}{7}+\frac {x}{5}= 1$
B.$\frac {x-2}{7}+\frac {x}{5}= 1$
C.$\frac {x}{7}+\frac {x+2}{5}= 1$
D.$\frac {x}{7}+\frac {x-2}{5}= 1$

答案： D

3. (成华区期末)如图,甲、乙两人沿着边长为 60 m 的正方形,按 A→B→C→D→A…的方向行走,甲从点 A 以60 m/min的速度行走,乙从点 B 以 69 m/min 的速度行走,两人同时出发,当乙第一次追上甲时用了_____min.

答案： 20【解析】设乙第一次追上甲用了x min.由题意，得69x=60x+60×3,解得x=20.即当乙第一次追上甲时用了20 min.

4. (金牛区期末)如图,在长方形 ABCD 的边上有 P,Q 两个动点,速度分别为2 cm/s,1 cm/s,两个点同时出发,运动过程中,一个点停止运动时另一个点继续向终点运动,运动时间为 t s. 动点 P从 A 点出发,沿折线 A-D-C向终点 C 运动,动点 Q 从 C 点出发,沿折线 C-D-A 向终点 A运动. 若 AB = 8 cm,AD = 6 cm,当△APC 和△AQC 的面积之和为$ 8 cm^2 $时,t 的值为______.

答案： $\frac{8}{11}$或12【解析】
∵四边形ABCD是长方形
∴CD=AB=8 cm,BC=AD=6 cm.当t≤3时,点P在AD上,点Q在CD上,AP=2t cm,CQ=t cm,则$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}AP× CD=\frac{1}{2}× 2t× 8=8t(\text{cm}^2)$,$S_{\triangle AQC}=\frac{1}{2}CQ× AD=\frac{1}{2}× t× 6=3t(\text{cm}^2)$,
∴$S_{\triangle APC}+S_{\triangle AQC}=8t+3t=11t(\text{cm}^2)$.若11t=8,则$t=\frac{8}{11}＜3$,满足条件,成立.当3＜t≤7时,点P,Q都在CD上,点P运动的总路程为2t cm
∴DP=(2t-6)cm,则CP=CD-DP=8-(2t-6)=14-2t(cm),
∴$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}CP× AD=\frac{1}{2}(14-2t)× 6=42-6t(\text{cm}^2)$,$S_{\triangle AQC}=3t\ \text{cm}^2$,则$S_{\triangle APC}+S_{\triangle AQC}=42-6t+3t=42-3t(\text{cm}^2)$.若42-3t=8则$t=\frac{34}{3}＞7$,不满足条件,舍去.当7＜t≤8时,点P到达点C,$S_{\triangle APC}=0$,$S_{\triangle AQC}=3t\ \text{cm}^2$,
∴3t=8则$t=\frac{8}{3}＜7$,不成立.当8＜t≤14时,点P在点C处,$S_{\triangle APC}=0$,点Q在AD上,DQ=(t-8)cm,则AQ=AD-DQ=(14-t)cm,
∴$S_{\triangle AQC}=\frac{1}{2}×(14-t)× 8=56-4t(\text{cm}^2)$,
∴56-4t=8,解得t=12,成立.综上所述,当△APC和△AQC的面积之和为8 cm²时,t的值为$\frac{8}{11}$或12.

5. (金牛区期末)列方程解应用题:小明每天早上要在 7:50 之前赶到距家 1000 m 的学校上学. 一天,小明从家出发,以 60 m/min 的速度走了 6 min 后,小明的爸爸发现他忘了带数学书,于是,爸爸立即以 180 m/min 的速度去追小明,并且在中途追上了他,爸爸追上小明用了多长时间?

答案： 解:设爸爸追上小明用了x min.依题意,得(180-60)x=60×6,解得x=3.答:爸爸追上小明用了3 min.