《2025年名校题库七年级数学上册》

10. (青羊区期末)已知$D= (a + 10)x^3+cx^2 - 2x + 5是关于x$的二次多项式,且$a$,$b$,$c满足(c - 18)^2 = -\vert a + b\vert$,$a$,$b$,$c在数轴上所对应的点分别为A$,$B$,$C$.
(1)$a = $______,$b = $______,$c = $______.
(2)点$A$,$B$,$C$同时在数轴上运动,点$A以每秒1$个单位长度的速度向左运动,同时点$B和点C分别以每秒2个单位长度和5$个单位长度的速度向右运动.若点$B与点C之间的距离表示为BC$,点$A与点B之间的距离表示为AB$,设运动时间为$t$秒,请问:$BC - AB的值是否随着时间t$的变化而改变? 若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
(3)如图,将这条数轴在原点$O和点B$处各折一下,得到一条“折线数轴”,我们称$A$,$C两点在折线数轴上的距离为AO$,$OB$,$BC$三段的和,动点$P从点A$出发,以每秒$2$个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动,从点$O运动到点B$期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点$Q从点C$出发,以每秒$1$个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动,从点$B运动到点O$期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速,点$P运动到点C$停止运动,点$Q运动到点A$停止运动.设运动时间为$t$秒.
①当$t为多少秒时P$,$Q$两点相遇? 相遇点$M$所表示的数是多少?
②当$P$,$O两点在数轴上的距离与Q$,$B$两点在数轴上的距离相等时,求出此时$t$的值.

答案：
(1)-10;10;18　【解析】$\because (c - 18)^2 = - |a + b|$,即$(c - 18)^2 + |a + b| = 0$,而$(c - 18)^2\geqslant 0$,$|a + b|\geqslant 0$,$\therefore c - 18 = 0$,$a + b = 0$,$\therefore c = 18$,$a + b = 0$.又$\because (a + 10)x^2 + cx^2 - 2x + 5$是关于x的二次多项式,$\therefore a + 10 = 0$,即$a = - 10$,$\therefore b = - a = 10$.
(2)解:$BC - AB$的值不随着时间t的变化而改变,其值是 - 12.理由如下:由题可知,点A表示的数为$-10 - t$,点B表示的数为$10 + 2t$,点C表示的数为$18 + 5t$,$\therefore AB = 10 + 2t - (-10 - t) = 3t + 20$,$BC = 18 + 5t - (10 + 2t) = 3t + 8$,$\therefore BC - AB = (3t + 8) - (3t + 20) = 3t + 8 - 3t - 20 = - 12$.
(3)解:①由题意,得点P运动到点O所需时间为$10÷ 2 = 5$(秒),点Q运动到点B所需时间为$8÷ 1 = 8$(秒).当$t = 8$时,点Q到点B,点P在OB上,$OP = (8 - 5)×1 = 3$,$\therefore PB = 10 - 3 = 7$,则再走$7÷(2 + 1) = \frac{7}{3}$(秒)时,两点相遇,此时$OP = 3 + \frac{7}{3} = \frac{16}{3}$.故当$t = \frac{7}{3}$秒时P,Q两点相遇,相遇点M所表示的数是$\frac{16}{3}$. ②当动点Q在CB上,动点P在AO上,即$0 ＜ t ＜ 5$时,则$8 - t = 10 - 2t$,解得$t = 2$.当动点Q在CB上,动点P在OB上,即$5 ＜ t ＜ 8$时,则$8 - t = (t - 5)×1$,解得$t = 6.5$.当动点Q在BO上,动点P在OB上,即$8 ＜ t ＜ 13$时,则$2(t - 8) = (t - 5)×1$,解得$t = 11$.当动点Q在OA上,动点P在BC上,即$t ＞ 15$时,则$10 + 2(t - 15) = t - 13 + 10$,解得$t = 17$.当动点Q在OA上,动点P在点C上,即$19 ＜ t ＜ 23$时,则$t - 13 + 10 = 18$,解得$t = 21$.综上所述,t的值为2,6.5,11,17或21.