《2025年名校题库七年级数学上册》

15.(双流区期末)如图,$∠AOC= ∠BOD= 80^{\circ }$.
(1)若$∠DOC= 30^{\circ }$,求$∠AOB$的度数.
(2)若射线$OC$,$OD恰好分别是∠BOD$,$∠AOC$的平分线,求$∠AOB$的度数.
(3)当射线$OK在∠AOB$内部,$∠AOK= k∠AOB$时,我们称$k为射线OK在∠AOB$内的比值,记作$m(OK,∠AOB)= k$.在(2)的条件下,射线$OP$,$OQ分别从射线OA$,$OB$同时开始旋转,其中射线$OP绕点O$顺时针旋转,射线$OQ绕点O$逆时针旋转,当射线$OP旋转到射线OB$时,射线$OP$,$OQ$停止旋转.设运动时间为$t$秒.若射线$OP$,$OQ的运动速度分别为每秒10^{\circ }$,每秒$20^{\circ }$,射线$OQ到达射线OA$后立即以原速返回,则当$t$为何值时,$m(OP,∠AOB)+m(OQ,∠AOB)= \frac {3}{4}$?

答案： 解:
(1)
∵∠AOC = 80°，∠DOC = 30°，
∴∠AOD=∠AOC - ∠DOC = 50°.
∵∠BOD = 80°，
∴∠AOB=∠BOD+∠AOD = 130°.
(2)
∵OC平分∠BOD，
∴∠COD = ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠BOD = 40°.
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD = ∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC = 40°，
∴∠AOB=∠AOD+∠COD+∠BOC = 120°.
(3)由射线OP从射线OA出发绕点O顺时针旋转，运动速度为每秒10°，得∠AOP = 10°·t，由射线OQ从射线OB出发绕点O逆时针旋转，运动速度为每秒20°，得∠BOQ = 20°·t.
∵∠AOB = 120°，
∴m(OP，∠AOB)= $\frac{10°·t}{120°}$ = $\frac{t}{12}$.
∵当OP运动到OB时，OP，OQ停止运动，t = 120÷10 = 12，
∴0 ＜ t ＜ 12.当0 ＜ t ≤ 6时，∠BOQ = 20°·t，∠AOQ=120° - 20°·t，
∴m(OQ，∠AOB)= $\frac{120° - 20°·t}{120°}$ = 1 - $\frac{t}{6}$.
∵m(OP，∠AOB)+m(OQ，∠AOB)= $\frac{3}{4}$，
∴$\frac{t}{12}$ + 1 - $\frac{t}{6}$ = $\frac{3}{4}$，解得t = 3.当6 ＜ t ≤ 12时，∠AOQ = 20°·t - 120°，
∴m(OQ，∠AOB)= $\frac{20°·t - 120°}{120°}$ = $\frac{t}{6}$ - 1.
∵m(OP，∠AOB)+m(OQ，∠AOB)= $\frac{3}{4}$，
∴$\frac{t}{12}$ + $\frac{t}{6}$ - 1 = $\frac{3}{4}$，解得t = 7.综上所述，当t为3或7时，m(OP，∠AOB)+m(OQ，∠AOB)= $\frac{3}{4}$.