《2025年名校题库七年级数学上册》

8. (锦江区期末)如图,数轴上$A$,$B两点对应的数分别是a$,$b$,且$(a + 4)^2+\vert b - 12\vert = 0$.
(1)$a = $______,$b = $______.
(2)点$M从点A$出发沿数轴正方向匀速运动,同时,点$N从点B$出发沿数轴负方向匀速运动,设运动时间为$t$秒.$P$,$Q分别为AM$,$BN$的中点,规定:若$MN = kPQ$($k$为常数),则称点$P$,$Q为点M$,$N$的“$k$型伴点”.
①若点$M的运动速度为每秒2$个单位长度,点$N的运动速度为每秒3$个单位长度,当点$P$,$Q为点M$,$N$的“$2$型伴点”时,求$t$的值;
②若点$N$保持①中的速度不变,改变点$M$的速度,当点$P$,$Q为点M$,$N$的“$3$型伴点”时,点$P刚好运动到线段AB$的中点处,则点$M$的速度应变为多少?

答案：
(1)-4;12
(2)解:①由题意得,数轴上点M对应的数为$-4 + 2t$,点N对应的数为$12 - 3t$.$\because$P,Q分别为AM,BN的中点,$\therefore$数轴上点P对应的数为$-4 + t$,点Q对应的数为$12 - \frac{3}{2}t$.$\because$点P,Q为点M,N的“2型伴点”,$\therefore MN = 2PQ$,即$|(-4 + 2t) - (12 - 3t)| = 2|(-4 + t) - (12 - \frac{3}{2}t)|$,整理得$|5t - 16| = |5t - 32|$,即$5t - 16 = 5t - 32$(无解)或$5t - 16 = 32 - 5t$,解得$t = \frac{24}{5}$. ②设点M的速度为a个单位长度/秒,当点P刚好运动到线段AB的中点处时,点M此时与点B重合,$\therefore$点P对应的数为$-4 + \frac{1}{2}at = 4$,点M对应的数为12.$\because$点P,Q为点M,N的“3型伴点”,$\therefore |12 - (12 - 3t)| = 3|4 - (12 - \frac{3}{2}t)|$,整理得$|3t| = |-24 + \frac{9}{2}t|$,即$3t = - 24 + \frac{9}{2}t$或$3t = 24 - \frac{9}{2}t$,解得$t = 16$或$t = \frac{16}{5}$.当$t = 16$时,$-4 + 8a = 4$,解得$a = 1$;当$t = \frac{16}{5}$时,$-4 + \frac{8}{5}a = 4$,解得$a = 5$.综上所述,点M的速度应变为1个单位长度/秒或5个单位长度/秒.