《2025年名校题库七年级数学上册》

7.(高新区期末)直线 AB 与直线 CD 相交于点 O,$∠AOD= 90^{\circ }$,射线 OF 在$∠BOD$内部.
(1)如图 1,射线 OE 在$∠AOD$内部,若$∠DOE= ∠BOF= 40^{\circ }$,请比较$∠AOE和∠DOF$的大小,并说明理由.
(2)如图 2,小亮将$∠BOF$沿射线 OH 折叠,使 OF 与 OD 重合,OB 落在$∠AOD$内部的 OG 处.小亮提出了以下问题,请你帮忙解决:
①$∠BOG等于∠COF$吗? 请说明理由.
②现有一条射线 OM 在$∠AOD$内部,若$∠BOF= 50^{\circ },∠MOG= 15^{\circ }$,请求出$∠MOH$的度数.

答案： 解:
(1)∠AOE=∠DOF.理由如下:
∵∠AOD=∠BOD=90°,∠DOE=∠BOF=40°,
∴∠AOE=50°,∠DOF=50°,
∴∠AOE=∠DOF.
(2)①∠BOG=∠COF;理由如下:
∵∠BOD=90°,
∴∠BOF+∠DOF=90°.
∵∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD,
∴∠BOF=∠GOD.
又
∵∠BOC=∠BOD=90°,
∴∠BOC+∠BOF =∠BOD+∠GOD,即∠COF=∠BOG.
②
∵∠BOF=50°,∠BOD=90°,
∴∠DOF=40°.
∵∠BOF沿射线OH折叠，OF与OD重合，
∴OH平分∠DOF,
∴∠DOH=∠FOH=20°.
∵∠GOD=∠BOF=50°,∠MOG=15°,
∴∠MOH=50°+15°+20°=85°或∠MOH=50°−15°+20°=55°.
综上所述，∠MOH的度数为85°或55°.

8.(成华区期末)已知$∠AOB= 120^{\circ }$,射线 OC 在$∠AOB$的内部,$∠AOC＜60^{\circ }$.将射线 OC 绕点 O逆时针旋转$60^{\circ }$得到射线 OD.
(1)如图 1,若$∠AOD= 90^{\circ }$,则$∠AOC= ∠BOD$吗? 为什么?
(2)作射线 OE,使射线 OE 为$∠AOD$的平分线.
①如图 2,当射线 OC 恰好平分$∠AOE$时,求$∠BOD$的度数;
②如图 3,设$∠AOC= α$,试判断$∠BOD与∠EOC$之间有何数量关系? 并说明理由.

答案： 解:
(1)∠AOC=∠BOD,理由如下:
∵∠AOB=120°,∠AOD=90°,
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=120°−90°=30°,
∵∠AOD=90°,∠COD=60°,
∴∠AOC=∠AOD−∠COD=90°−60°=30°,
∴∠AOC=∠BOD.
(2)①设∠AOC=β,
∵射线OC平分∠AOE,
∴∠AOE=2∠AOC=2β.
∵OE为∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠AOE =4β.
∵∠COD=∠AOD−∠AOC=60°,
∴4β−β=60°,解得β=20°,
∴∠AOD=4β=80°,
∴∠BOD=∠AOB −∠AOD=120°−80°=40°.
②∠BOD=2∠EOC,理由如下:
∵∠AOC=α,∠COD=60°,
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=α+60°,
∴∠BOD=∠AOB−∠AOD=120°−(α+60°)=60°−α.
∵OE为∠AOD的平分线,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$(α+60°)=$\frac{1}{2}$α+30°,
∴∠EOC=∠COD−∠DOE=60°−($\frac{1}{2}$α+30°)=30°−$\frac{1}{2}$α,
∴∠BOD=2∠EOC.