《2025年名校题库七年级数学上册》

5. (锦江区期末)已知关于 $x$ 的方程 $(a - 2)x^{|a| - 1} + 4b = 0$ 为一元一次方程, 且该方程的解与关于 $x$ 的方程 $\frac{2x + 1}{3} = \frac{x - b}{2} + 1$ 的解相同.
(1)求 $a, b$ 的值；
(2)在(1)的条件下, 若关于 $y$ 的方程 $|m - 1|y + n = a + 1 + 2by$ 有无数个解, 求 $m, n$ 的值.

答案： 解:
(1)
∵方程(a-2)x$|^{a|-1}$+4b=0为一元一次方程,
∴|a|-1=1且a-2≠0,
∴a=-2,
∴方程为-4x+4b=0,解得x=b.
∵方程-4x+4b=0的解与方程$\frac{2x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$的解相同,
∴$\frac{2x+1}{3}=1$,
∴x=1,
∴b=1.
(2)由题意可知,方程为|m-1|y+n=-2+1+2y,
∴(|m-1|-2)y=-n-1.
∵方程|m-1|y+n=a+1+2by有无数个解,
∴|m-1|=2,-n-1=0,
∴m=3或m=-1,n=-1.

1. (金牛区期中)若关于 $x$ 的方程 $mx + 2 = 2m - 2x$ 的解满足方程 $|x - \frac{1}{2}| = 1$, 则 $m = $______.

答案： 10或$\frac{2}{5}$ 【解析】解方程|x-$\frac{1}{2}$|=1,得x=$\frac{3}{2}$或-$\frac{1}{2}$.当x=$\frac{3}{2}$时,则$\frac{3}{2}$m+2=2m-3,解得m=10;当x=-$\frac{1}{2}$时,则-$\frac{1}{2}$m+2=2m+1,解得m=$\frac{2}{5}$.

2. (树德实验)若关于 $x$ 的方程 $\frac{2kx + m}{3} = 2 + \frac{x - nk}{6}$, 无论 $k$ 为任何数时, 它的解总是 $x = 2$, 则 $m + n = $______.

答案： -1 【解析】将x=2代入$\frac{2kx+m}{3}=2+\frac{x-nk}{6}$,得$\frac{4k+m}{3}=2+\frac{2-nk}{6}$,
∴(8+n)k=14-2m.由题意可知,无论k为任何数时,(8+n)k=14-2m恒成立,
∴8+n=0,14-2m=0,
∴n=-8,m=7,
∴m+n=7+(-8)=-1.

3. (实外)已知 $|x_1 - 1| + (x_2 - 2)^2 + |x_3 - 3|^3 + (x_4 - 4)^4 + … + (x_{2016} - 2016)^{2016} + |x_{2017} - 2017|^{2017} = 0$, 则 $\frac{1}{x_1x_2} + \frac{1}{x_2x_3} + \frac{1}{x_3x_4} + … + \frac{1}{x_{2016}x_{2017}} = $______.

答案： $\frac{2016}{2017}$

4. (实外)已知 $m, n$ 为有理数, 方程 $||x + m| - n| = 2.7$ 仅有三个不相等的解, 则 $n = $______.

答案： 2.7 【解析】
∵||x+m|-n|=2.7,
∴|x+m|=2.7+n或|x+m|=-2.7+n.当|x+m|=2.7+n时,x=2.7+n-m或x=-2.7-n-m;当|x+m|=-2.7+n时,x=-2.7+n-m或x=2.7-n-m.
∵方程||x+m|-n|=2.7仅有三个不相等的解,
∴-2.7+n=0或2.7+n=0,
∴n=2.7或n=-2.7.当n=-2.7时,|x+m|=-5.4,不成立,
∴n=2.7.综上所述,n的值为2.7.

5. (天府新区期末)已知 $x = 3$ 是方程 $3[(\frac{x}{3} + 1) + \frac{m(x - 1)}{4}] = 2$ 的解, $n$ 满足关系式 $|2n + m| = 1$, 求 $m + n$ 的值.

答案： 解:将x=3代入原方程,得6+$\frac{3}{2}$m=2,
∴12+3m=4,
∴m=-$\frac{8}{3}$.
∵|2n+m|=1,
∴2n-$\frac{8}{3}$=1或2n-$\frac{8}{3}$=-1,
∴n=$\frac{11}{6}$或n=$\frac{5}{6}$,
∴m+n=-$\frac{5}{6}$或-$\frac{11}{6}$.

1. (双流区期末)已知一种运算满足：$x※y= 2xy+1$,$x★y= x+2y-1$,例如：$2※3= 2×2×3+1= 13$,$2★3= 2+2×3-1= 7$。若$a※(4★5)的值为-51$,则$a$的值为______。

答案： -2

2. (成华区期末)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式,应该怎样写呢？我们以无限循环小数$0.\dot{7}$为例进行说明：设$0.\dot{7}= x$,由$0.\dot{7}= 0.7777…可知10x= 7.7777…$,所以$10x= 7+x$,所以$x= \frac{7}{9}$,于是得$0.\dot{7}= \frac{7}{9}$。将$0.\dot{2}1\dot{6}$写成分数的形式是______。

答案： $\frac{8}{37}$

3. (天府新区期末)一般情况下$\frac{m}{2}-\frac{n}{3}= \frac{m-n}{2-3}$不成立,但有些数可以使得它成立,例如：$m= n= 0$。我们称使得$\frac{m}{2}-\frac{n}{3}= \frac{m-n}{2-3}成立的一对数m$,$n$为“神奇数对”,记为$(m,n)$。若$(8,n)$是“神奇数对”,且关于$x的方程3x-6= n与2x-1= 3k$的解相等,则$k$的值为______。

答案： 3