《2025年名校题库七年级数学上册》

1.(石室联中)当$a= $____时,$|2-a|+2$会有最小值,且最小值是____；当$b= $____时,$5-|2b-1|$会有最大值,且最大值是____.

答案： 2 2 $\frac{1}{2}$ 5

2.(武侯区期末)已知$x$为有理数,则$|x+5|+|x-3|$的最小值是____.

答案： 8

3.(树德光华)数轴上一动点$P对应的数为x$,点$A$,$B对应的数分别是-2$,$1$,已知$|x+2|可表示点P到点A$的距离,若$|x+2|+|x-1|= 3$,令$T= |x^{2}-3|-2$,则$T$的最大值为____；若$|x+2|+|x-1|= 5$,则$x= $____.

答案： 1 2或-3

4.(石室联中)$|x+2|+|x-6|$有最小值是____；$|x+2|-|x-6|$有最大值是____；当$|x+2|-|x-6|取得最小值时相应的有理数x$的取值范围是____.

答案： 8 8 $x\leqslant -2$【解析】当$x＜-2$时，$|x+2|+|x-6|=-x-2+6-x=4-2x＞8$；当$-2\leqslant x\leqslant 6$时，$|x+2|+|x-6|=x+2+6-x=8$；当$x＞6$时，$|x+2|+|x-6|=x+2+x-6=2x-4＞8$.综上所述，$|x+2|+|x-6|$的最小值为8.当$x＜-2$时，$|x+2|-|x-6|=-x-2-(6-x)=-8$；当$-2\leqslant x\leqslant 6$时，$|x+2|-|x-6|=x+2-(6-x)=2x-4$，若$x=-2$，则$|x+2|-|x-6|$的值最小，为-8，若$x=6$，则$|x+2|-|x-6|$的值最大，为8；当$x＞6$时，$|x+2|-|x-6|=(x+2)-(x-6)=8$.综上所述，$|x+2|-|x-6|$的最大值为8，当$|x+2|-|x-6|$取得最小值-8时相应的有理数x的取值范围是$x\leqslant -2$.

5.(龙泉驿区期中)
(1)【运用一】代数式$|x+1|+|x+4|$的最小值为____；
(2)【运用二】代数式$|x-2|-|x+14|$的最大值为____；
(3)【运用三】已知$|x-1|+|x+3|= 10$,则$x$的值为____.

答案：
(1)3
(2)16
(3)4或-6【解析】
(1)当$x＜-4$时，$|x+1|+|x+4|=-x-1-x-4=-2x-5＞3$；当$-4\leqslant x\leqslant -1$时，$|x+1|+|x+4|=-x-1+x+4=3$；当$x＞-1$时，$|x+1|+|x+4|=x+1+4+x=2x+5＞3$.综上所述，当$-4\leqslant x\leqslant -1$时，$|x+1|+|x+4|$取最小值为3.
(2)当$x\leqslant -14$时，$|x-2|-|x+14|=2-x+x+14=16$；当$-14＜x＜2$时，$|x-2|-|x+14|=2-x-(x+14)=-12-2x$，此时$-16＜-12-2x＜16$；当$x\geqslant 2$时，$|x-2|-|x+14|=x-2-(x+14)=-16$.综上所述，当$x\leqslant -14$时，代数式$|x-2|-|x+14|$取最大值为16.
(3)由
(1)可知，当$-3\leqslant x\leqslant 1$时，$|x-1|+|x+3|$取最小值4，$\therefore |x-1|+|x+3|=10$时，$x＜-3$或$x＞1$.当$x＜-3$时，$1-x-x-3=10$，解得$x=-6$；当$x＞1$时，$x-1+x+3=10$，解得$x=4$.综上所述，x的值为4或-6.

6.(成外)成都外国语学校有五个优质摄影社团,依次为一社、二社、三社、四社、五社,它们分别有相机$15$台、$7$台、$11$台、$3$台、$14$台,现在为使各社团相机台数相等,各调几台给相邻社团,规定一社给二社$x_{1}$台,二社给三社$x_{2}$台,三社给四社$x_{3}$台,四社给五社$x_{4}$台,五社给一社$x_{5}$台,则调动的相机总台数$|x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|+|x_{4}|+|x_{5}|$的最小值为____.

答案： 12【解析】依题意得，平均后每个摄影社团有$(15+7+11+3+14)÷ 5=10$(台)，$\therefore 7+x_{1}-x_{2}=11+x_{2}-x_{3}=3+x_{3}-x_{4}=14+x_{4}-x_{5}=15+x_{5}-x_{1}=10$，$\therefore x_{2}=x_{1}-3$，$x_{3}=x_{1}-2$，$x_{4}=x_{1}-9$，$x_{5}=x_{1}-5$.设调动的相机总台数为y，$\therefore y=|x_{1}|+|x_{1}-3|+|x_{1}-2|+|x_{1}-9|+|x_{1}-5|$.由绝对值的几何意义知，当$x_{1}=3$时，y有最小值12，此时$x_{2}=0$，$x_{3}=1$，$x_{4}=-6$，$x_{5}=-2$，即一社给二社3台，三社给四社1台，五社给四社6台，一社给五社2台，$\therefore$调动的相机总台数的最小值为12.

7.(七中育才)设$a= |x-3|$,$b= |x-1|$,$c= |x+12|$,则$3a+b+c$的最小值是____.

答案： 解：
(1)由题知,$|a-2|=3$表示数轴上表示数a的点与表示数2 的点之间 的距离是3.由$|a-2|=3$，得$a=-1$或$a=5$.
(2)$\because$表示数a的点位于-4与2之间，$\therefore$原式$=a+4-(a-2)=a+4-a+2=6$.
(3)代数式$|a-1|+|a-3|+|a-5|$可表示数轴上表示数a的点与表示数1、数3和数5的点的距离之和，如图所示，![img alt=8题
(3)图]当表示数a的点在点B时，代数式$|a-1|+|a-3|+|a-5|$的值最小，即当$a=3$时，代数式$|a-1|+|a-3|+|a-5|$的最小值为4.

8.(西川)一般地,数轴上表示数$m和数n的两点之间的距离等于|m-n|$.结合数轴与绝对值的知识,回答下列问题：
(1)若$|a-2|= 3$,则等式表示的几何意义是什么？直接写出$a$的值.
(2)若数轴上表示数$a的点位于-4与2$之间,求$|a+4|+|a-2|$的值.
(3)当$a$取何值时,$|a-1|+|a-3|+|a-5|$的值最小？最小值是多少？请说明理由.

答案：
(1)7或-3
(2)解：当$3\leqslant x\leqslant 6$时，$|x-3|+|x-6|$有最小值，最小值为3.
(3)解：零点分段法：令$|x+3|=0$，得$x=-3$.令$|x-1|=0$得$x=1$.①当$x＜-3$时，$|x+3|-|x-1|=-x-3+x-1=-4\neq 4$，不成立；②当$-3\leqslant x\leqslant 1$时，$|x+3|-|x-1|=x+3+x-1=2x+2=4$，$\therefore x=1$；③当$x＞1$时，$|x+3|-|x-1|=x+3-x+1=4$，$\therefore$当$x＞1$时，$|x+3|-|x-1|=4$恒成立.综上所述，当$x\geqslant 1$时，$|x+3|-|x-1|=4$.