《2025年名校题库七年级数学上册》

7.(成华区期末)如图,$O是直线MN$上一点.将射线$OM绕点O$逆时针旋转,转速为每秒$5^{\circ }$,得到射线$OA$;同时,将射线$ON绕点O$顺时针旋转,转速为$OM转速的3$倍,得到射线$OB$.设旋转时间为$t秒(0≤t≤12)$.
(1)当$t= 4$时(如图1),求$∠AOB$的度数.
(2)当射线$OA与射线OB$重合时(如图2),求$t$的值.
(3)是否存在$t$值,使得射线$OB平分∠AOM$?如果存在,请求出$t$的值;如果不存在,请说明理由.

答案： 解:
(1)当t = 4时，∠AOM = 4×5° = 20°，∠BON = 4×3×5° = 60°，
∴∠AOB=180° - ∠AOM - ∠BON = 100°.
(2)根据题意，得5°t+3×5°t = 180°，解得t = 9.
(3)存在t值，使得射线OB平分∠AOM.如图，
∵∠BON = 3×5°t = 15°t，
∴∠BOM=180° - 15°t.
∵射线OB平分∠AOM，
∴∠AOM = 2∠BOM，即5°t = 2(180° - 15°t)，解得t = $\frac{72}{7}$.

8.(金牛区期末)已知$∠AOB:∠BOC:∠COA= 2:3:4,∠BOD= 90^{\circ }$.(本题所涉及的角均小于平角)
(1)如图1,求$∠COD$的度数;
(2)如图2,过点$O作直线EF$,且$OE平分∠AOD$,求$∠COF$的度数;
(3)如图3,$G是射线OB$上一点,将线段$OG绕点O以每秒10^{\circ }的速度沿逆时针方向旋转t秒(0\lt t\lt 18)$,当$∠COG= 3∠DOG$时,求此时$t$的值.

答案： 解:
(1)由∠AOB:∠BOC:∠COA = 2:3:4，不妨设∠AOB = 2x，∠BOC = 3x，∠COA = 4x，由题意得2x+3x+4x = 360°，解得x = 40°，
∴∠AOB = 80°，∠BOC = 120°，∠COA = 160°.
∵∠BOD = 90°，
∴∠COD=∠BOC - ∠BOD = 30°.
(2)由
(1)得∠AOD = 170°.
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD= $\frac{1}{2}$∠AOD = 85°，
∴∠COF=180° - ∠EOD - ∠DOC = 65°.
(3)分情况讨论:①当0 ＜ t ＜ 9时，120 - 10t = 3(90 - 10t)，解得t = 7.5;②当9 ≤ t ≤ 12时，120 - 10t = 3(10t - 90)，解得t = 9.75;③当12 ＜ t ＜ 18时，不符合题意.综上所述，t的值为7.5或9.75.