《2025年名校题库七年级数学上册》

9.(天府新区期末)如图,$O为直线MN$上一点,将一等腰直角三角板$AOB放置在直线MN$上方,$∠A= 90^{\circ }$,且将其一锐角顶点与点$O$重合,射线$OP平分∠AON$,设$∠AOM= α$.
(1)若$α=30^{\circ }$,则$∠PON$的度数为____;
(2)若$0^{\circ }\lt α\lt 90^{\circ }$,求$∠BOP$的度数;(用含$α$的代数式表示)
(3)若$0^{\circ }\lt α\lt 180^{\circ }$,在射线$OB$,$OP$,$ON$中,当其中一条是另外两条射线所成夹角的平分线时,求$α$的值.

答案：
(1) 75°
(2) 解:
∵∠AOM = α，
∴∠AON=180° - ∠AOM = 180° - α.
∵射线OP平分∠AON，
∴∠AOP= $\frac{1}{2}$∠AON= $\frac{1}{2}$×(180° - α)= 90° - $\frac{1}{2}$α.
∵△AOB是等腰直角三角形，∠A = 90°，
∴∠AOB = 45°，
∴∠BOP=∠AOP - ∠AOB=90° - $\frac{1}{2}$α - 45° = 45° - $\frac{1}{2}$α.
(3) 解:分三种情况:①当OB是∠PON的平分线时，如图1所示.
∵∠AOM = α，
∴∠AON=180° - ∠AOM = 180° - α.
∵射线OP平分∠AON，
∴∠PON= $\frac{1}{2}$∠AON= $\frac{1}{2}$×(180° - α)= 90° - $\frac{1}{2}$α.
∵∠AOB = 45°，
∴∠BON=180° - ∠AOM - ∠AOB=180° - α - 45° = 135° - α.
∵OB是∠PON的平分线，
∴∠PON = 2∠BON = 270° - 2α，
∴90° - $\frac{1}{2}$α = 270° - 2α，
∴α = 120°.②当ON是∠POB的平分线时，如图2所示.
∵射线OP平分∠AON，
∴∠AOP = ∠PON.
∵ON是∠POB的平分线，
∴∠PON = ∠BON，
∴∠AOP = ∠PON = ∠BON.
∵∠AOB = 45°，
∴∠AON= $\frac{2}{3}$∠AOB = 45°×$\frac{2}{3}$ = 30°，
∴∠AOM=180° - ∠AON = 180° - 30° = 150°，即α = 150°.③当OP是∠BON的平分线时，
∵射线OP平分∠AON，
∴OP不可能平分∠BON.综上所述，α的值为120°或150°.

10.(新都区期末)将一副三角板按如图1所示的方式摆放,把它抽象成几何图形,便得到图2.已知$∠ACB= 30^{\circ },∠DCE= 45^{\circ }$.保持三角板$ABC$不动,将三角板$DCE绕点C以每秒5^{\circ }$的速度顺时针转动(即三角板$DCE的每一条边都绕点C$以相同速度顺时针转动),如图3所示,设转动时间为$t秒(0≤t≤27)$.
(1)当$t= $____时,$CE平分∠ACB$,此时$∠ACD-∠BCE= $____度;
(2)在三角板$DCE$转动的过程中,请判断$∠ACD与∠BCE$有怎样的数量关系,并说明理由;
(3)如图4,在三角板$DCE$转动的过程中,分别作$∠BCE和∠ACD的平分线CM和CN$,请求出当$t$为何值时,$\frac {∠ACE}{∠DCN-∠BCM}= 2$.

答案：
(1) 3　15　[解析]
∵∠ACB = 30°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE = ∠BCE = $\frac{1}{2}$∠ACB = 15°，
∴t = 15°÷5° = 3.
∵∠ECD = 45°，
∴∠ACD=∠ECD - ∠ACE = 45° - 15° = 30°，
∴∠ACD - ∠BCE = 30° - 15° = 15°.
(2) 解:∠ACD - ∠BCE = 15°.理由如下:如题图2，
∵∠ECD = 45°，∠ACB = 30°，
∴∠ACD = 45° - 30° = 15°.如题图3，由旋转，得∠BCE = 5t°，∠ACD = 15°+5t°，
∴∠ACD - ∠BCE=15°+5t° - 5t° = 15°.
(3) 解:分两种情况:①当0 ≤ t ≤ 6时，如题图4，
∴∠ACE = 30° - 5t°.
∵∠BCE和∠ACD的平分线分别为CM和CN，
∴∠BCM = ∠ECM = $\frac{5t°}{2}$，∠ACN = ∠DCN = $\frac{15° + 5t°}{2}$.
∵$\frac{∠ACE}{∠DCN - ∠BCM}$ = 2，
∴$\frac{30 - 5t}{\frac{15 + 5t}{2} - \frac{5t}{2}}$ = 2，解得t = 3.②当6 ＜ t ≤ 27时，如图所示，
∴∠ACE = 5t° - 30°.
∵∠BCE和∠ACD的平分线分别为CM和CN，
∴∠BCM = ∠ECM = $\frac{5t}{2}$，∠ACN = ∠DCN = $\frac{15° + 5t}{2}$.
∵$\frac{∠ACE}{∠DCN - ∠BCM}$ = 2，
∴$\frac{5t - 30}{\frac{15 + 5t}{2} - \frac{5t}{2}}$ = 2，解得t = 9.综上所述，t的值是3或9.