《2025年名校题库七年级数学上册》

11. (成华区期末)如图,以n边形的n个顶点和它内部m个点作为顶点,把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形.观察图形,解答下列问题：
(1)填表：
|$m\n$|1|2|3|…|
|3|3|5|7|…|
|4|4|______|______|…|

(2)填空：三角形内部有m个点,则原三角形被分割成______个不重叠的小三角形；四边形内部有m个点,则原四边形被分割成______个不重叠的小三角形；n边形内部有m个点,则原n边形被分割成______个不重叠的小三角形.
(3)若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一,分割成互不重叠的小三角形共有2021个,求这个多边形的边数.

答案：
(1)6 8
(2)(2m+1) (2m+2) (2m+n-2)【解析】三角形内部有1个点时,共分割成3个不重叠的小三角形,3=3+2×(1-1);三角形内部有2个点时,共分割成5个不重叠的小三角形,5=3+2×(2-1);三角形内部有3个点时,共分割成7个不重叠的小三角形,7=3+2×(3-1).由此推出,三角形内部有m个点时,共分割成3+2(m-1)=(2m+1)个不重叠的小三角形.四边形有4个顶点和它内部的m个点,则分割成的不重叠的小三角形的个数为4+2(m-1)=2m+2.n边形内部有m个点,则被分割成n+2(m-1)=(2m+n-2)个不重叠的小三角形.
(3)解:设这个多边形的边数为a,则内部的点的个数为$\frac{1}{5}a$.根据题意,得$2×\frac{1}{5}a+a-2=2021$,解得a=1445.故这个多边形的边数为1445.

1. (七中育才)幻方是一种很神奇的数列图,最早出现于春秋时期. 现有25个连续正整数组成了一个五阶幻方,其正中间恰好是代表我们21级的数字21,其每行5个数之和、每列5个数之和以及两条对角线上的5个数之和均为有理数n,则$2n - 3 = $____.

答案： 207 【解析】由题意知，五阶幻方最中间的数是21，则25个连续正整数为9,10,11,12,13,…,33.
∵每行5个数之和、每列5个数之和以及两条对角线上的5个数之和均为有理数n,
∴n=5×21=105,
∴2n-3=2×105-3=207.

2. (金牛区期末)定义：若对于某个大于2的正整数n,存在不小于4的整数a,使得$|n - a^{2}| \leq 3$,则称该正整数n是一个“和谐数”,例如：13,14,15都是“和谐数”,因为$|13 - 4^{2}| = 3$,$|14 - 4^{2}| = 2$,$|15 - 4^{2}| = 1$. 若将“和谐数”换从小到大排列,则第118个“和谐数”是____.

答案： 402 【解析】第一组，当a=4时，“和谐数”为13，14,15,16,17,18,19，且最中间一个“和谐数”为$4^{2}=(1+3)^{2}$.第二组，当a=5时，“和谐数”为22,23,24，25,26,27,28，且最中间一个“和谐数”为$5^{2}=(2+3)^{2}$.每7个“和谐数”组成一个循环，
∵118÷7=16……6，16+4=20，
∴第118个“和谐数”是在当a=20时的一组数中的第6个数，
∴第118个“和谐数”是$20^{2}+2=402$.