《2025年名校题库七年级数学上册》

3. (成华区期末)在数学创新设计活动中,某创新小组的同学设计了一个“回头差”游戏：对依次排列的两个整式m,n进行操作,第1次操作后得到整式串m,n,$n - m$；第2次操作后得到整式串m,n,$n - m$,$-m$；第3次操作后得到整式串m,n,$n - m$,$-m$,$-n$；……其规则为：每次操作后增加的整式都是用上一次操作后得到的最末整式减去其前一个整式的差. 该“回头差”游戏第2024次操作后得到的整式串中各整式之和为____.

答案： 2n-m 【解析】第1次操作：m,n,n-m；第2次操作：m,n,n-m,-m；第3次操作：m,n,n-m,-m,-n；第4次操作：m,n,n-m,-m,-n,m-n；第5次操作：m,n,n-m,-m,-n,m-n,m；第6次操作：m,n,n-m,-m,-n,m-n,m,n；第7次操作：m,n,n-m,-m,-n,m-n,m,n,n-m；第8次操作：m,n,n-m,-m,-n,m-n,m,n,n-m,-m；……第1次操作后的整式串中各整式之和=2n，第2次操作后的整式串中各整式之和=2n-m，第3次操作后的整式串中各整式之和=n-m，第4次操作后的整式串中各整式之和=0，第5次操作后的整式串中各整式之和=m，第6次操作后的整式串中各整式之和=m+n，第7次操作后的整式串中各整式之和=2n，第8次操作后的整式串中各整式之和=2n-m，……由此发现，每6次操作后整式串中各整式之和为一组依次循环.因为2024÷6=337……2，所以第2024次操作后得到的整式串中各整式之和为2n-m.

4. (高新区期末)我们对多边形的每条边都赋给一个特征值,将顶点的特征值确定为相邻两边特征值差的绝对值,称第1次“运算”；再将边的特征值确定为相邻两端点特征值差的绝对值,称第2次“运算”. 如图1是三角形经过两次“运算”的示意图. 如图2,已知某长方形的四边的特征值分别为m,1,6,3,若这个长方形经过三次“运算”后,各顶点的特征值都为0,则满足条件的正整数m的值为____.

答案：
8或4 【解析】
∵这个长方形经过三次“运算”后，各顶点的特征值都为0，
∴||m-1|-5|=2，||m-3|-3|=2，||m-1|-|m-3||=2.
∵m是正整数，
∴m=8或m=4.
　

5. (高新区期末)【初探】从1~9这九个数字中任选两个不同的数字,分别记为a,b,由这两个数字组成两个不同的两位数,再用这两个两位数相加的和除以11,所得的商记为$F(a,b)$. 如：$a = 1$,$b = 2$,可以组成12,21,它们的和为33,因为$33 ÷ 11 = 3$,所以$F(1,2) = 3$.
(1)$F(2,7) = $____.
(2)$F(a,b)$一定是整数吗？请说明理由.
【拓广】从1~9这九个数字中任选三个不同的数字,分别记为m,n,p,由这三个数字组成六个不同的两位数,再用这六个两位数相加的和除以22,所得的商记为$G(m,n,p)$.
(3)若$G(m,n,p) = 3p$,且$n = m + 2$,求$p - m$的值.

答案：
(1)9
(2)解：一定是整数，理由如下：由题意得$F(a,b)=\frac{10a+b+10b+a}{11}=\frac{11a+11b}{11}=\frac{11(a+b)}{11}=a+b$.
∵a,b都是整数，
∴a+b也是整数，
∴F(a,b)一定是整数.
(3)解：由题意得$G(m,n,p)=\frac{10m+n+10n+m+10m+p+10p+m+10p+n+10n+p}{22}=\frac{22m+22n+22p}{22}=\frac{22(m+n+p)}{22}=m+n+p$.
∵G(m,n,p)=3p，
∴m+n+p=3p，
∴m+n=2p.
∵n=m+2，
∴m+m+2=2p，
∴p=m+1，
∴p-m=1.