《2025年名校题库七年级数学上册》

6. (成华区期末)一个各个数位上的数字均不为零的四位正整数,若其千位数字与十位数字之和等于8,百位数字与个位数字之和也等于8,则称这个四位正整数为“乐群数”.
例如：1276. $\because 1 + 7 = 8$,$2 + 6 = 8$,$\therefore 1 + 7 = 2 + 6 = 8$,$\therefore 1276$是“乐群数”.
又如：3254. $\because 3 + 5 = 8$,$2 + 4 = 6 \neq 8$,$\therefore 3254$不是“乐群数”.
(1)请判断：1473____“乐群数”,6523____“乐群数”. (两空均选填“是”或“不是”)
(2)已知一个“乐群数”的千位数字比百位数字小3,把它的千位和百位数字分别与十位和个位数字对调,对调后得到的新数比原数大3762,求这个“乐群数”.
(3)是否存在千位数字比百位数字小,且被7除余3的“乐群数”？若存在,请求出满足条件的“乐群数”；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)不是 是 【解析】
∵1+7=8，4+3=7≠8，
∴1473不是“乐群数”.
∵6+2=5+3=8，
∴6523是“乐群数”.
(2)解：设这个“乐群数”的千位数字为x，则百位数字为x+3，十位数字为8-x，个位数字为8-(x+3)=5-x.根据题意，得1000x+100(x+3)+10(8-x)+5-x+3762=1000(8-x)+100(5-x)+10x+x+3，解得x=2，
∴这个“乐群数”为2563.
(3)解：存在千位数字比百位数字小，且被7除余3的“乐群数”.理由如下：设这个“乐群数”为M，它的千位数字为a，百位数字为b，且a＜b，
∴M的十位数字是8-a，个位数字是8-b，
∴M=1000a+100b+10(8-a)+8-b=990a+99b+88.
∵M被7除余3，
∴M-3能被7整除.
∵M-3=990a+99b+85，
∴$\frac{M-3}{7}=\frac{99(10a+b)+85}{7}=\frac{98(10a+b)+(10a+b)+84+1}{7}=14(10a+b)+12+\frac{10a+b+1}{7}$，
∴10a+b+1能被7整除.
∵a＜b，
∴当a=1,b=3；a=2,b=7；a=3,b=4时，满足题意，
∴M为1375或2761或3454.