《2025年名校题库七年级数学上册》

9.(锦江区期末)同学们都知道：$|5-(-2)|表示5与-2$之差的绝对值,实际上也可以理解成$5和-2$两数在数轴上所对应的两点之间的距离.请你借助数轴进行以下探索：
(1)若$|x-2|= 5$,则$x= $____；
(2)由以上探索猜想对于任何有理数$x$,$|x-3|+|x-6|$有最小值,请写出当$x在什么范围时|x-3|+|x-6|$有最小值,并求出最小值是多少；
(3)请写出当$x满足什么范围时使得|x+3|-|x-1|= 4$.

答案： 17【解析】$\because a=|x-3|$，$b=|x-1|$，$c=|x+12|$，$\therefore 3a+b+c=3|x-3|+|x-1|+|x+12|$.$3|x-3|+|x-1|+|x+12|$表示数轴上表示数x 的点到表示数1，-12 的点的距离以及到表示数3的点的距离的3倍之和，易得当$x=3$时,它们的距离之和最小，此时$3a+b+c=17$.

10.(实外)对于有理数$x$,$y$,$m$,$n$,若$|x-m|+|y-m|= n$,则称$x和y关于m$的“绝对关联数”为$n$,例如：$|2-1|+|3-1|= 3$,则$2和3关于1$的“绝对关联数”为$3$.
(1)$-3和5关于2$的“绝对关联数”为____.
(2)若$x和2关于3$的“绝对关联数”为$4$,则$x$的值为____.
(3)若$x_{0}和x_{1}关于1$的“绝对关联数”为$1$,$x_{1}和x_{2}关于2$的“绝对关联数”为$1$,$x_{2}和x_{3}关于3$的“绝对关联数”为$1$,…$$,$x_{60}和x_{61}关于61$的“绝对关联数”为$1$,…$$,则：
①$x_{0}+x_{1}$的最小值为____；
②$x_{1}+x_{2}+x_{3}+… +x_{62}$的最小值为____.

答案：
(1)8
(2)6或0
(3)①1 ②1953【解析】
(1)$|-3-2|+|5-2|=8$.
(2)$\because$x和2关于3的“绝对关联数”为4，$\therefore |x-3|+|2-3|=4$，$\therefore |x-3|=3$，解得$x=6$或$x=0$.
(3)①$\because x_{0}$和$x_{1}$关于1的“绝对关联数”为1，$\therefore |x_{0}-1|+|x_{1}-1|=1$，$\therefore$在数轴上可以看作表示数$x_{0}$的点到表示1的点的距离与表示数$x_{1}$的点到表示1的点的距离和为1，$\therefore x_{0}+x_{1}$有最小值1.②由题意可知，$|x_{1}-2|+|x_{2}-2|=1$，$1\leqslant x_{1}\leqslant 2$，$2\leqslant x_{2}\leqslant 3$，$\therefore x_{1}+x_{2}$的最小值为$1+2=3$；$|x_{3}-4|+|x_{4}-4|=1$ $3\leqslant x_{3}\leqslant 4$，$4\leqslant x_{4}\leqslant 5$，$\therefore x_{3}+x_{4}$的最小值为$3+4=7$；同理，$|x_{5}-6|+|x_{6}-6|=1$，$x_{5}+x_{6}$的最小值为$5+6=11$；$|x_{7}-8|+|x_{8}-8|=1$，$x_{7}+x_{8}$的最小值为$7+8=15$；…；$|x_{61}-62|+|x_{62}-62|=1$，$x_{61}+x_{62}$的最小值为$61+62=123$.因此，$x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{62}$的最小值为$3+7+11+15+\cdots +123=\frac{(3+123)× 31}{2}=1953$.