《2025年名校题库七年级数学上册》

7. (双流区期末)用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼图形.拼第1个图形所用两种卡片的总数为7张,拼第2个图形所用两种卡片的总数为12张,……,若按照这样的规律拼出的第n个图形中,所用正方形卡片比等边三角形卡片多10张,则拼第n个图形所用两种卡片的总数为______张.

答案： 52 【解析】由所给图形可知,第1个图形中正方形卡片的张数为4=1×3+1,等边三角形卡片的张数为3=1×2+1,正方形卡片比等边三角形卡片多的张数为1×3+1-(1×2+1)=1×(3-2);第2个图形中正方形卡片的张数为7=2×3+1,等边三角形卡片的张数为5=2×2+1,正方形卡片比等边三角形卡片多的张数为2×3+1-(2×2+1)=2×(3-2);第3个图形中正方形卡片的张数为10=3×3+1,等边三角形卡片的张数为7=3×2+1,正方形卡片比等边三角形卡片多的张数为3×3+1-(3×2+1)=3×(3-2);……;第n个图形中正方形卡片有(3n+1)张,等边三角形卡片有(2n+1)张,正方形卡片比等边三角形卡片多n张.当n=10时,3n+1+2n+1=5n+2=5×10+2=52(张),即第10个图形中,正方形卡片比等边三角形卡片多10张,且所用两种卡片的总数为52张.

8. (锦江区期末)将若干个相同的“L”型卡片(如图所示)按如图所示的方式依次摆放,以此类推,摆放2023个时,组合图形的周长为______.

答案： 解：观察图形可知，摆放1个时周长为8；摆放2个时周长为12；摆放3个时周长为16。
设摆放n个时周长为C，通过分析可得规律：C=4n+4。
当n=2023时，C=4×2023+4=8096。
8096

9. (树德实验)如图,下列图形都是由黑色和白色的小圆点按一定的规律排列组成的,其中第①个图形中有2个黑色小圆点,第②个图形中有8个黑色小圆点,第③个图形中有17个黑色小圆点,……,按此规律,则第⑥个图形中黑色小圆点的个数是______.

答案： 62 【解析】由所给图形可知,第①个图形中黑色小圆点的个数为2=2×1-0;第②个图形中黑色小圆点的个数为8=3×3-1;第③个图形中黑色小圆点的个数为17=4×5-(1+2);第④个图形中黑色小圆点的个数为29=5×7-(1+2+3);……,所以第n个图形中黑色小圆点的个数为$(n+1)(2n-1)-\left(1+2+3+\cdots+n-1\right)=(n+1)(2n-1)-\frac{n(n-1)}{2}$.当n=6时,$(n+1)(2n-1)-\frac{n(n-1)}{2}=7×11-\frac{6×5}{2}=62$(个),即第⑥个图形中黑色小圆点的个数为62.

10. (成华区期末)
(1)【发现问题】如图,在数阵1中,第1行圆圈中的数为1,即$1^{2}$；第2行两个圆圈中的数之和为$2 + 2$,即$2^{2}$；……；第n行n个圆圈中的数之和为$n + n + n + … + n$,即______.这样,数阵1中共有______个圆圈,数阵1中所有圆圈中的数之和可以表示为______.
(2)【解决问题】将数阵1旋转可得数阵2,将数阵2旋转可得数阵3,请仔细观察这三个数阵,并计算：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+… +n^{2}$.(结果用含n的代数式表示)
(3)【拓展应用】根据上面的发现,计算：$\frac{1^{2}+2^{2}+3^{2}+… +2024^{2}}{1 + 2 + 3 + … + 2024}$.

答案：
(1)$n^2$ $\frac{n(n+1)}{2}$ $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$【解析】由所给数阵可知,$\underset{n个n}{\underbrace{n+n+\cdots+n}}=n^2$.数阵1中所有圆圈的个数之和为$1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.因为第1行圆圈中的数为1,即$1^2$;第2行两个圆圈中的数之和为2+2,即$2^2$;……;第n行n个圆圈中的数之和为$\underset{n个n}{\underbrace{n+n+n+\cdots+n}}$,即$n^2$,所以数阵1中所有圆圈中的数之和可以表示为$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$.
(2)解:观察这三个数阵中各行同一个位置上的数发现,每个位置上的三个数之和为2n+1,所以这三个数阵中所有圆圈中数的总和为$3×(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)=\frac{n(n+1)}{2}\cdot(2n+1)$,因此$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
(3)由
(2)可知,原式=$\frac{\frac{2024×(2024+1)×(2×2024+1)}{6}}{\frac{2024×2025}{2}}=\frac{4049}{3}$.