《2025年名校题库七年级数学上册》

1.(七中育才)如果一个n棱柱有18个顶点,那么底面边数n以及面数m分别为 ( )

A.$n= 9,m= 9$
B.$n= 9,m= 11$
C.$n= 6,m= 6$
D.$n= 6,m= 8$

答案： B

2.(师大一中)已知三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱,四棱柱有6个面、8个顶点、12条棱,五棱柱有7个面、10个顶点、15条棱,…,由此可以推测,n棱柱有______个面、______个顶点、______条棱.

答案： $(n+2)$ $2n$ $3n$

3.(成华区期末)十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中面数(F)、顶点数(V)、棱数(E)之间存在一个有趣的关系式,被称为“欧拉公式”.请你观察如图所示的几种简单多面体的模型,解答下列问题:

(1)根据如图所示的多面体模型完成表格中的空格:
|多面体|各面形状|面数(F)|顶点数(V)|棱数(E)|
|四面体|三角形|4|4|6|
|正方体|正方形|6|8| |
|正八面体|正三角形|8| |12|
|正十二面体|正五边形|12|20|30|

你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是______(用含V,F,E的式子表示);
(2)已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成的,且有18个顶点,每个顶点处都有4条棱,设该多面体外表面三角形的个数为m个,六边形的个数为n个,求m+n的值;
(3)在(2)的情况下,又已知m+2q= 18,求代数式$(3n-6q)^{2}-\frac {2}{10q-5n}$的值.

答案：
(1)12 6 $V+F-E=2$
(2)解:$m+n=20.$
(3)解:$\because m+2q=18,m+n=20,$
$\therefore n-2q=2,$
$\therefore (3n-6q)^{2}-\frac {2}{10q-5n}$
$=[3(n-2q)]^{2}-\frac {2}{5(2q-n)}$
$=36-\frac {2}{5×(-2)}=36\frac {1}{5}.$