《2025年名校题库七年级数学上册》

10. (石室联中)定义$f(x)= \frac {1}{1+x^{2}}$,即当$x= 1$时,$f(1)= \frac {1}{1+1^{2}}= \frac {1}{2}$;当$x= \frac {1}{2}$时,$f(\frac {1}{2})= \frac {1}{1+(\frac {1}{2})^{2}}= \frac {4}{5}$.那么$f(-2021)+f(-2020)+... +f(-2)+f(-1)+f(\frac {1}{2})+f(\frac {1}{3})+... +f(\frac {1}{2020})+f(\frac {1}{2021})= $____.

答案： 2020.5

11. (石室北湖)规定：$f(x)= |x-2|,g(y)= |y+3|$.例如：$f(-4)= |-4-2|= 6,g(-4)= |-4+3|= 1$.
下列结论中,正确的是____.(填序号)
①若$f(x)+g(y)= 0$,则$2x-3y= 13$;②若$x＜-3$,则$f(x)+g(x)= -1-2x$;
③使$f(x)= g(x)成立的x$的值不存在;④式子$f(x-1)+g(x+1)$的最小值是7.

答案： ①②④

12. (成华区期末)若“*”表示一种新运算,规定:$a*b= a×b-(a+b)$.
(1)计算:$(-3)*5$;
(2)计算:$2*[(-4)*(-5)]$.

答案： 解:
(1)(-3)*5=(-3)×5-[(-3)+5]=-15-2=-17.
(2)2*[(-4)*(-5)]
=2*[(-4)×(-5)-(-4-5)]
=2*29
=2×29-(2+29)
=58-31
=27.

13. (成外)探究规律,完成相关题目.
定义“*”运算：
$(+2)*(+4)= +(2^{2}+4^{2})$;
$(-4)*(-7)= [(-4)^{2}+(-7)^{2}]$;
$(-2)*(+4)= -[(-2)^{2}+(+4)^{2}]$;
$(+5)*(-7)= -[(+5)^{2}+(-7)^{2}]$;
$0*(-5)= (-5)*0= (-5)^{2}$;
$0*0= 0^{2}+0^{2}= 0$;
$(+3)*0= 0*(+3)= (+3)^{2}$.
(1)计算:
①$(-1)*(-1)$;
②$(-1)*[0*(-2)]$.
(2)归纳“*”运算的法则(文字语言或符号语言均可):两数进行“*”运算时,____.特别地,0和任何数进行“*”运算,或任何数和0进行“*”运算,____.
(3)是否存在整数$m,n$,使得$(m-1)*(n+2)= -2$?若存在,求出$m-n$的值;若不存在,请说明理由.

答案：
(1)解:①(-1)*(-1)=+[(-1)²+(-1)²]=2.
②(-1)*[0*(-2)]=(-1)*(+4)=-[(-1)²+(+4)²]=-17.
(2)同号得正,异号得负,并把两数的平方相加 都等于这个数的平方
(3)解:存在.
∵(m-1)*(n+2)=-2,
∴m-1与n+2异号,(m-1)²+(n+2)²=2.
∵m,n是整数,
∴m-1=-1,n+2=1或m-1=1,n+2=-1,
∴m=0,n=-1或m=2,n=-3,
∴m-n=1或m-n=5.