《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

(重庆中考)把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有4个三角形,第②个图案中有6个三角形,第③个图案中有8个三角形……按此规律排列下去,则第⑦个图案中三角形的个数为(C)
A.12
B.14
C.16
D.18
解析 第①个图案中的三角形个数为$2+2= 2×(1+1)= 4$(个)；
第②个图案中的三角形个数为$2+2+2= 2×(2+1)= 6$(个)；
第③个图案中的三角形个数为$2+2+2+2= 2×(3+1)= 8$(个)；
…
故第⑦个图案中的三角形个数为$2×(7+1)= 16$(个),故选C。
答案 C
点拨 本题考查找规律,这类题型在中考中经常出现。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的。对于具有周期性的题目,找出周期是解题的关键。

答案： 【解析】：
首先，观察题目给出的前几个图案中三角形的数量，找出其中的规律。
第①个图案中有4个三角形，可以表示为$2×(1+1)$；
第②个图案中有6个三角形，可以表示为$2×(2+1)$；
第③个图案中有8个三角形，可以表示为$2×(3+1)$。
通过观察，发现每个图案中的三角形数量都符合一个规律，即第$n$个图案中的三角形数量为$2×(n+1)$。
这个规律可以通过数学归纳法证明，但在这里直接应用它来计算第⑦个图案中的三角形数量。
根据规律，第⑦个图案中的三角形数量为$2×(7+1)=16$。
【答案】：C

1. 按一定规律排列的单项式：$-2a^{2},3a^{4},-4a^{6},5a^{8},-6a^{10},7a^{12},...$,第n个单项式是(D)
A.$(-1)^{n-1}na^{n}$
B.$(-1)^{n-1}(n+1)a^{2n}$
C.$(-1)^{n}na^{2n}$
D.$(-1)^{n}(n+1)a^{2n}$

答案： 解：观察单项式系数：-2，3，-4，5，-6，7，...，符号为$(-1)^n$，绝对值为$n+1$，故系数为$(-1)^n(n+1)$；
字母部分：$a^2,a^4,a^6,a^8,...$，指数为$2n$，即$a^{2n}$；
综上，第n个单项式是$(-1)^n(n+1)a^{2n}$。
答案：D

2. 观察下面三行数：
$-2,4,-8,16,-32,64,......$①
$0,6,-6,18,-30,66,......$②
$-1,2,-4,8,-16,32,......$③
设x,y,z分别为第①②③行的第10个数,则$2x-y-2z$的值为(C)
A.$2^{2001}$
B.0
C.-2
D.2

答案： 解：
第①行：$-2,4,-8,16,-32,64,\dots$，规律为$(-2)^n$，第10个数$x=(-2)^{10}=1024$。
第②行：$0,6,-6,18,-30,66,\dots$，规律为第①行对应数加2，即$(-2)^n+2$，第10个数$y=(-2)^{10}+2=1024+2=1026$。
第③行：$-1,2,-4,8,-16,32,\dots$，规律为第①行对应数除以2，即$\frac{(-2)^n}{2}=(-2)^{n-1}$，第10个数$z=(-2)^{9}=-512$。
$2x-y-2z=2×1024 - 1026 - 2×(-512)=2048 - 1026 + 1024=2046$。
（注：原参考答案为C，经重新计算，上述过程中第③行第10个数应为$(-2)^{10}/2=512$，修正后：
$z=512$，$2x-y-2z=2048 - 1026 - 1024=-2$。）
答案：C

3. 根据图中数字规律,代数式$x-(y-x)$的值是(B)
A.-396
B.-398
C.-400
D.-402

答案： 观察前三个图形中数字规律：
- 上方数字：2，4，6，8（依次增加2）
- 左下角数字：5=2²+1，17=4²+1，37=6²+1，故x=8²+1=65
- 右下角数字：12=2×5+2，72=4×17+4，228=6×37+6，故y=8×65+8=528
计算代数式：x-(y-x)=2x-y=2×65-528=130-528=-398
答案：B

4. 如图,将正方形分成4个完全一样的小正方形,选取右下角的小正方形进行第二次操作,又得到四个更小的正方形,……依次操作20次,得到的图形中共有多少个正方形(A)
A.81个
B.80个
C.101个
D.100个

答案： 解：观察图形规律：
- 操作0次（初始）：1个正方形
- 操作1次：1 + 4×1 = 5个
- 操作2次：1 + 4×2 = 9个
- 操作n次：1 + 4n个
操作20次时，正方形总数为：1 + 4×20 = 81个
答案：A