《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

6. (武汉中考)分式方程$\frac {x}{x-3}= \frac {x+1}{x-1}$的解是$x = -3$.

答案： 解：方程两边同乘$(x - 3)(x - 1)$，得$x(x - 1) = (x + 1)(x - 3)$。
展开得$x^2 - x = x^2 - 3x + x - 3$。
移项、合并同类项得$-x + 3x - x = -3$，即$x = -3$。
检验：当$x = -3$时，$(x - 3)(x - 1)=(-3 - 3)(-3 - 1)=(-6)(-4)=24\neq0$。
所以，原分式方程的解是$x = -3$。
$x = -3$

7. 关于x的分式方程$\frac {2-x}{x-3}= \frac {a}{3-x}-2$有增根,则a的值是____1.

答案： 解：方程两边同乘$x - 3$，得$2 - x = -a - 2(x - 3)$。
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入整式方程：$2 - 3 = -a - 2(3 - 3)$，解得$a = 1$。
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8. (达州中考)若关于x的方程$\frac {3}{x-2}-\frac {kx-1}{x-2}= 1$无解,则k的值为2或-1.

答案： 解：方程两边同乘$x - 2$得：$3 - (kx - 1) = x - 2$，
整理得：$(k + 1)x = 6$。
情况一：当$k + 1 = 0$，即$k = -1$时，方程无解。
情况二：当$k + 1 \neq 0$时，$x = \frac{6}{k + 1}$，
由分式方程无解，得$x - 2 = 0$，即$x = 2$，
则$\frac{6}{k + 1} = 2$，解得$k = 2$。
综上，$k$的值为$2$或$-1$。

9. 若关于x的方程$\frac {2x+m}{x-2}+\frac {x-1}{2-x}= 3$的解是正数,则m的取值范围为$m ＞ -7$且$m \neq -3$.

答案： 解：方程两边同乘$x - 2$，得$2x + m - (x - 1) = 3(x - 2)$
去括号，得$2x + m - x + 1 = 3x - 6$
移项、合并同类项，得$-2x = -m - 7$
解得$x = \frac{m + 7}{2}$
因为方程的解是正数，所以$\frac{m + 7}{2} ＞ 0$，解得$m ＞ -7$
又因为$x - 2 \neq 0$，即$\frac{m + 7}{2} \neq 2$，解得$m \neq -3$
所以$m$的取值范围为$m ＞ -7$且$m \neq -3$

10. (鞍山中考)习近平总书记指出,中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为了大力弘扬中华优秀传统文化,某校决定开展名著阅读活动.用3600元购买“四大名著”若干套后,发现这批图书满足不了学生的阅读需求,图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书,于是用2400元购买的套数只比第一批少4套.设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元,则符合题意的方程是$\frac{3600}{x} - \frac{2400}{0.8x} = 4$.

答案： 解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为$x$元，则第一批购买的套数为$\frac{3600}{x}$套。
第二批图书城八折销售，每套价格为$0.8x$元，用$2400$元购买的套数为$\frac{2400}{0.8x}$套。
已知第二批购买的套数比第一批少$4$套，所以可列方程：
$\frac{3600}{x} - \frac{2400}{0.8x} = 4$
故答案为：$\frac{3600}{x} - \frac{2400}{0.8x} = 4$

11. 解方程：
(1)$\frac {x-3}{x-2}+1= \frac {3}{2-x}$；
(2)$\frac {2x}{x-1}= \frac {1}{1-x}+5$.

答案：
(1)解：方程两边同乘$(x-2)$，得$x-3 + (x-2) = -3$，
去括号得$x - 3 + x - 2 = -3$，
合并同类项得$2x - 5 = -3$，
移项得$2x = 2$，
解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$x - 2 = -1 ≠ 0$，
所以$x = 1$是原方程的解。
(2)解：方程两边同乘$(x - 1)$，得$2x = -1 + 5(x - 1)$，
去括号得$2x = -1 + 5x - 5$，
移项得$2x - 5x = -1 - 5$，
合并同类项得$-3x = -6$，
解得$x = 2$，
检验：当$x = 2$时，$x - 1 = 1 ≠ 0$，
所以$x = 2$是原方程的解。

12. 端午节是我国的传统节日,端午食粽是我国大部分地区的传统习俗.某社区超市端午节期间销售某品牌的粽子.已知每盒粽子节前的进价比节后多10元,节前用2000元购进粽子的盒数与节后用1800元购进粽子的盒数相同.求节前每盒粽子的进价是多少元.

答案： 解：设节前每盒粽子的进价是 $ x $ 元，则节后每盒粽子的进价是 $ (x - 10) $ 元。根据题意，得
$\frac{2000}{x} = \frac{1800}{x - 10}$
解得 $ x = 100 $。
经检验，$ x = 100 $ 是原分式方程的解，且符合题意。
答：节前每盒粽子的进价是 100 元。

13. (威海中考)六一儿童节来临之际,某商店用3000元购进一批玩具,很快售完；第二次购进时,每件的进价提高了20%,同样用3000元购进的数量比第一次少了10件.
(1)求第一次每件的进价为多少元；
(2)若两次购进的玩具售价均为70元,且全部售完,求两次的总利润为多少元.

答案：
(1) 解：设第一次每件的进价为 $ x $ 元，则第二次每件的进价为 $ (1 + 20\%)x $ 元。
由题意，得 $ \frac{3000}{x} - \frac{3000}{(1 + 20\%)x} = 10 $，
解得 $ x = 50 $。
经检验，$ x = 50 $ 是方程的解，且符合题意。
答：第一次每件的进价为 50 元。
(2) 解：第一次购进数量为 $ \frac{3000}{50} = 60 $ 件，
第二次购进数量为 $ \frac{3000}{50 × 1.2} = 50 $ 件，
总售价为 $ 70 × (60 + 50) = 7700 $ 元，
总成本为 $ 3000 × 2 = 6000 $ 元，
总利润为 $ 7700 - 6000 = 1700 $ 元。
答：两次的总利润为 1700 元。