《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

13. 写出一个分子为$x - 5$,且在$x \neq 1$时有意义的分式：$\frac{x - 5}{x - 1}$（答案不唯一）。

答案： $\frac{x - 5}{x - 1}$（答案不唯一）

14. 计算：$(x + y) \cdot \frac{x^2}{x^2 - y^2} + \frac{y^2}{y - x} = $$x + y$。

答案： 解：原式$=(x + y) \cdot \frac{x^2}{(x + y)(x - y)} + \frac{y^2}{-(x - y)}$
$=\frac{x^2}{x - y} - \frac{y^2}{x - y}$
$=\frac{x^2 - y^2}{x - y}$
$=\frac{(x + y)(x - y)}{x - y}$
$=x + y$
答案：$x + y$

15. 方程$\frac{2}{x + 3} = \frac{1}{x}$的解为$x = 3$。

答案： 解：方程两边同乘$x(x + 3)$，得$2x = x + 3$，解得$x = 3$。检验：当$x = 3$时，$x(x + 3)=3×6=18≠0$，所以$x = 3$是原方程的解。
$x = 3$

16. 已知$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$,则$\frac{a - 2b}{a + 2b}$的值是$-\frac{1}{2}$。

答案： 解：设$a = 2k$，$b = 3k$（$k \neq 0$），
则$\frac{a - 2b}{a + 2b} = \frac{2k - 2 × 3k}{2k + 2 × 3k} = \frac{2k - 6k}{2k + 6k} = \frac{-4k}{8k} = -\frac{1}{2}$。
$-\frac{1}{2}$

17. “绿水青山就是金山银山。”某地为美化环境,计划种植树木6000棵。由于志愿者的加入,实际每天植树的棵数比原计划增加了25%,结果提前3天完成任务。则实际每天植树500棵。

答案： 解：设原计划每天植树$x$棵，则实际每天植树$(1 + 25\%)x = 1.25x$棵。
根据题意，得$\frac{6000}{x}-\frac{6000}{1.25x}=3$。
方程两边同乘$1.25x$，得$6000×1.25 - 6000 = 3×1.25x$。
化简得$7500 - 6000 = 3.75x$，即$1500 = 3.75x$。
解得$x = 400$。
经检验，$x = 400$是原方程的解，且符合题意。
则实际每天植树$1.25x = 1.25×400 = 500$棵。
500

18. 若关于$x的分式方程2 - \frac{1 - k}{x - 2} = \frac{1}{2 - x}$的解是正数,则$k$的取值范围是$k ＜ 4$且$k \neq 0$。

答案： 解：方程两边同乘$x - 2$，得$2(x - 2) - (1 - k) = -1$。
去括号，得$2x - 4 - 1 + k = -1$。
移项、合并同类项，得$2x = 4 - k$。
解得$x = \frac{4 - k}{2}$。
因为方程的解是正数，所以$\frac{4 - k}{2} ＞ 0$，解得$k ＜ 4$。
又因为$x - 2 \neq 0$，即$\frac{4 - k}{2} - 2 \neq 0$，解得$k \neq 0$。
综上，$k$的取值范围是$k ＜ 4$且$k \neq 0$。
答案：$k ＜ 4$且$k \neq 0$

19. 已知方程$\frac{3kx - 5}{x + k} = 2$,如果它的一个根是$x = -1$,那么$k = $$-\frac{3}{5}$。

答案： 解：将$x = -1$代入方程$\frac{3kx - 5}{x + k} = 2$，得
$\frac{3k×(-1) - 5}{-1 + k} = 2$
$\frac{-3k - 5}{k - 1} = 2$
两边同乘$k - 1$：$-3k - 5 = 2(k - 1)$
$-3k - 5 = 2k - 2$
$-3k - 2k = -2 + 5$
$-5k = 3$
$k = -\frac{3}{5}$
检验：当$k = -\frac{3}{5}$时，$x + k = -1 + (-\frac{3}{5}) = -\frac{8}{5} \neq 0$，所以$k = -\frac{3}{5}$是原方程的解。
$-\frac{3}{5}$

20. 符号“$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $”被称为二阶行列式,规定它的运算法则为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$。若$\begin{vmatrix}2&1\\frac{1}{1 - x}&\frac{1}{x - 1}\end{vmatrix} = 1$,则$x = $4。

答案： 解：由题意得，$2×\frac{1}{x - 1} - 1×\frac{1}{1 - x} = 1$
$ \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = 1 $
$ \frac{3}{x - 1} = 1 $
$ x - 1 = 3 $
$ x = 4 $
经检验，$x = 4$是原方程的解。
故答案为：4

21. (6分)计算：
(1)$\frac{2x^2}{x^2 - 9} \cdot \frac{x - 3}{x} - x + 1$；
(2)$\frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 + a} ÷ (1 - \frac{2}{a + 1})$。

答案： （1）解：原式$=\frac{2x^2}{(x + 3)(x - 3)} \cdot \frac{x - 3}{x} - x + 1$
$=\frac{2x}{x + 3} - x + 1$
$=\frac{2x}{x + 3} - \frac{(x - 1)(x + 3)}{x + 3}$
$=\frac{2x - (x^2 + 3x - x - 3)}{x + 3}$
$=\frac{2x - x^2 - 2x + 3}{x + 3}$
$=\frac{3 - x^2}{x + 3}$
（2）解：原式$=\frac{(a - 1)^2}{a(a + 1)} ÷ (\frac{a + 1}{a + 1} - \frac{2}{a + 1})$
$=\frac{(a - 1)^2}{a(a + 1)} ÷ \frac{a + 1 - 2}{a + 1}$
$=\frac{(a - 1)^2}{a(a + 1)} \cdot \frac{a + 1}{a - 1}$
$=\frac{a - 1}{a}$

22. (6分)解方程：
(1)$\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$；
(2)$\frac{2x - 3}{x^2 - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{2}{x - 1}$。

答案： （1）解：方程两边同乘$(x - 2)$，得$x - 3 + (x - 2) = -3$
去括号，得$x - 3 + x - 2 = -3$
移项、合并同类项，得$2x = 2$
解得$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$x - 2 = -1 \neq 0$，所以$x = 1$是原方程的解。
（2）解：方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得$2x - 3 - (x - 1) = 2(x + 1)$
去括号，得$2x - 3 - x + 1 = 2x + 2$
移项、合并同类项，得$-x = 4$
解得$x = -4$
检验：当$x = -4$时，$(x + 1)(x - 1) = (-3)×(-5) = 15 \neq 0$，所以$x = -4$是原方程的解。

23. (6分)先化简,再求值：$\frac{x - 3}{x - 1} \cdot (1 - \frac{2x - 10}{x^2 - 9})$,其中$x$是1,2,3中的一个合适的数。

答案： 解：原式$=\frac{x - 3}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 9 - 2x + 10}{x^2 - 9}$
$=\frac{x - 3}{x - 1} \cdot \frac{x^2 - 2x + 1}{(x + 3)(x - 3)}$
$=\frac{x - 3}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)^2}{(x + 3)(x - 3)}$
$=\frac{x - 1}{x + 3}$。
由题意，得$x \neq 1$，$x \neq \pm 3$，
当$x = 2$时，原式$=\frac{2 - 1}{2 + 3} = \frac{1}{5}$。

24. (6分)先化简：$\frac{x^2 - 4x + 4}{x + 1} ÷ (\frac{-3}{x + 1} + x - 1)$,再从不等式组$\begin{cases}5 - 2x \geq 1,\\x + 3 ＞ 0\end{cases} $的整数解中选择一个合适的值代入求值。

答案： 解：原式$=\frac{(x-2)^2}{x+1}÷\left(\frac{-3}{x+1}+\frac{x^2-1}{x+1}\right)$
$=\frac{(x-2)^2}{x+1}÷\frac{x^2-4}{x+1}$
$=\frac{(x-2)^2}{x+1}\cdot\frac{x+1}{(x+2)(x-2)}$
$=\frac{x-2}{x+2}$
解不等式组$\begin{cases}5-2x\geq1\\x+3＞0\end{cases}$
解$5-2x\geq1$得$x\leq2$
解$x+3＞0$得$x＞-3$
所以不等式组的解集为$-3＜x\leq2$
因为$x+1\neq0$，$(x+2)(x-2)\neq0$，所以$x\neq-1$，$x\neq\pm2$
取$x=0$，原式$=\frac{0-2}{0+2}=-1$