《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

1. 下列代数式中,是分式的是(C)
A.$\frac{x}{2024}$
B.$\frac{x + 1}{2}$
C.$\frac{2}{x + 1}$
D.$\frac{y}{\pi}$

答案： 解：分式是指分母中含有字母的代数式。
A选项分母为2024（常数），不是分式；
B选项分母为2（常数），不是分式；
C选项分母为$x + 1$（含字母x），是分式；
D选项分母为$\pi$（常数），不是分式。
结论：C

2. 下列各分式中,最简分式是(C)
A.$\frac{35(x - y)}{85(x + y)}$
B.$\frac{x + y}{x^2 + xy}$
C.$\frac{x^2 + y^2}{x^2y + xy^2}$
D.$\frac{x^2 - y^2}{(x + y)^2}$

答案： 解：A. $\frac{35(x - y)}{85(x + y)} = \frac{7(x - y)}{17(x + y)}$，不是最简分式；
B. $\frac{x + y}{x^2 + xy} = \frac{x + y}{x(x + y)} = \frac{1}{x}$，不是最简分式；
C. $\frac{x^2 + y^2}{x^2y + xy^2} = \frac{x^2 + y^2}{xy(x + y)}$，分子分母没有公因式，是最简分式；
D. $\frac{x^2 - y^2}{(x + y)^2} = \frac{(x + y)(x - y)}{(x + y)^2} = \frac{x - y}{x + y}$，不是最简分式。
答案：C

3. 不论$x$取值,下列代数式的值不可能为0的是(C)
A.$x + 1$
B.$x^2 - 1$
C.$\frac{1}{x + 1}$
D.$(x + 1)^2$

答案： 解：A. 令$x + 1 = 0$，解得$x = -1$，代数式的值可以为0。
B. 令$x^2 - 1 = 0$，解得$x = \pm 1$，代数式的值可以为0。
C. 令$\frac{1}{x + 1} = 0$，方程无解，代数式的值不可能为0。
D. 令$(x + 1)^2 = 0$，解得$x = -1$，代数式的值可以为0。
C

4. 计算$\frac{m^2}{m - 1} - \frac{2m - 1}{m - 1}$的结果是(B)
A.$m + 1$
B.$m - 1$
C.$m - 2$
D.$-m - 2$

答案： 解：原式$=\frac{m^2-(2m - 1)}{m - 1}$
$=\frac{m^2 - 2m + 1}{m - 1}$
$=\frac{(m - 1)^2}{m - 1}$
$=m - 1$
B

5. 下列各式中正确的是(D)
A.$\frac{b}{a + 2b} = \frac{1}{a + 2}$
B.$\frac{b}{a} = \frac{b + 2}{a + 2}$
C.$\frac{-a + b}{c} = \frac{a + b}{c}$
D.$\frac{a + 2}{a - 2} = \frac{a^2 - 4}{(a - 2)^2}$

答案： 解：A. $\frac{b}{a + 2b} \neq \frac{1}{a + 2}$，分子分母未同时除以非零整式$b$，错误。
B. $\frac{b}{a} \neq \frac{b + 2}{a + 2}$，分子分母同时加一个数不符合分式基本性质，错误。
C. $\frac{-a + b}{c} = \frac{-(a - b)}{c} \neq \frac{a + b}{c}$，错误。
D. $\frac{a + 2}{a - 2} = \frac{(a + 2)(a - 2)}{(a - 2)^2} = \frac{a^2 - 4}{(a - 2)^2}$，正确。
答案：D

6. 定义$a□ b = 2a + \frac{1}{b}$,则方程$3□ x = 4□ 2$的解为(B)
A.$x = \frac{1}{5}$
B.$x = \frac{2}{5}$
C.$x = \frac{3}{5}$
D.$x = \frac{4}{5}$

答案： 解：由定义$a□b = 2a + \frac{1}{b}$，得
$3□x = 2×3 + \frac{1}{x} = 6 + \frac{1}{x}$，
$4□2 = 2×4 + \frac{1}{2} = 8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$。
因为$3□x = 4□2$，所以$6 + \frac{1}{x} = \frac{17}{2}$。
移项得$\frac{1}{x} = \frac{17}{2} - 6 = \frac{17}{2} - \frac{12}{2} = \frac{5}{2}$。
则$x = \frac{2}{5}$。
B

7. 若关于$x的分式方程\frac{m + 4}{x - 3} = \frac{3x}{x - 3} + 2$有增根,则$m$的值为(D)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 解：方程两边同乘$x - 3$得：$m + 4 = 3x + 2(x - 3)$。
因为分式方程有增根，所以$x - 3 = 0$，即$x = 3$。
将$x = 3$代入整式方程：$m + 4 = 3×3 + 2×(3 - 3)$，解得$m = 5$。
D

8. 甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30min后,甲开始加工。甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成。求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工$x$个零件,可列方程为(D)
A.$\frac{120}{1.2x} - \frac{120}{x} = 30$
B.$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = 30$
C.$\frac{120}{1.2x} - \frac{120}{x} = \frac{30}{60}$
D.$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = \frac{30}{60}$

答案： 解：设乙每小时加工$x$个零件，则甲每小时加工$1.2x$个零件。
乙加工120个零件所需时间为$\frac{120}{x}$小时，甲加工120个零件所需时间为$\frac{120}{1.2x}$小时。
乙先加工30分钟（即$\frac{30}{60}$小时），两人同时完成，所以乙用的时间比甲多$\frac{30}{60}$小时，可列方程：
$\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = \frac{30}{60}$
答案：D

9. 分式方程$\frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{m}{x - 1}$的解为正数,则$m$的取值范围(B)
A.$m ＞ -3$
B.$m ＞ -3且m \neq -2$
C.$m ＜ 3$
D.$m ＜ 3且m \neq -2$

答案： 解：方程两边同乘$x - 1$得：$2 = (x - 1) - m$，
解得$x = 3 + m$。
因为分式方程的解为正数，所以$x ＞ 0$且$x - 1 \neq 0$，
即$3 + m ＞ 0$且$3 + m - 1 \neq 0$，
解得$m ＞ -3$且$m \neq -2$。
B

10. 如果$a - b = 2\sqrt{3}$,那么代数式$(\frac{a^2 + b^2}{2a} - b) \cdot \frac{a}{a - b}$的值为(A)
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

答案： 解：原式$=(\frac{a^2 + b^2}{2a} - \frac{2ab}{2a}) \cdot \frac{a}{a - b}$
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{2a} \cdot \frac{a}{a - b}$
$=\frac{(a - b)^2}{2a} \cdot \frac{a}{a - b}$
$=\frac{a - b}{2}$
当$a - b = 2\sqrt{3}$时，原式$=\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
A

11. 计算$(1 + \frac{1}{x - 2}) ÷ \frac{x - 1}{x^2 - 2x}$的结果是(D)
A.$4x$
B.$3x$
C.$2x$
D.$x$

答案： 解：原式$=\left(\frac{x-2}{x-2}+\frac{1}{x-2}\right)÷\frac{x-1}{x(x-2)}$
$=\frac{x-1}{x-2}\cdot\frac{x(x-2)}{x-1}$
$=x$
结论：D

12. 若整数$a使关于x的不等式组\begin{cases}\frac{x - 1}{2} ＜ \frac{1 + x}{3},\\5x - 2 \geq x + a\end{cases} $有且只有四个整数解,且使关于$y的方程\frac{y + a}{y - 1} + \frac{2a}{1 - y} = 2$的解为非负数,则符合条件的所有整数$a$的和为(C)
A.$-3$
B.$-2$
C.1
D.2

答案： 解：解不等式组$\begin{cases}\frac{x - 1}{2} ＜ \frac{1 + x}{3}, \\5x - 2 \geq x + a\end{cases}$
解$\frac{x - 1}{2} ＜ \frac{1 + x}{3}$，得$x ＜ 5$
解$5x - 2 \geq x + a$，得$x \geq \frac{a + 2}{4}$
不等式组解集为$\frac{a + 2}{4} \leq x ＜ 5$，有且只有四个整数解$1,2,3,4$，则$0 ＜ \frac{a + 2}{4} \leq 1$，解得$-2 ＜ a \leq 2$
解关于$y$的方程$\frac{y + a}{y - 1} + \frac{2a}{1 - y} = 2$
方程化为$\frac{y + a - 2a}{y - 1} = 2$，即$\frac{y - a}{y - 1} = 2$
解得$y = 2 - a$
解为非负数且$y \neq 1$，则$\begin{cases}2 - a \geq 0 \\2 - a \neq 1\end{cases}$，解得$a \leq 2$且$a \neq 1$
综上，$a$的取值范围为$-2 ＜ a \leq 2$且$a \neq 1$，整数$a$为$-1,0,2$
符合条件的所有整数$a$的和为$-1 + 0 + 2 = 1$
答案：C