《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

3. 某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生,计划用不超过100元购买A,B两种笔记本作为奖品,A种笔记本每本8元,B种笔记本每本10元,每种笔记本至少买4本,则购买方案有 (C)
A.7种
B.8种
C.9种
D.10种

答案： 解：设购买A种笔记本x本，B种笔记本y本。
由题意得：8x + 10y ≤ 100，x ≥ 4，y ≥ 4，且x，y为正整数。
当x=4时，8×4 + 10y ≤ 100，解得y ≤ 6.8，y=4，5，6，共3种；
当x=5时，8×5 + 10y ≤ 100，解得y ≤ 6，y=4，5，6，共3种；
当x=6时，8×6 + 10y ≤ 100，解得y ≤ 5.2，y=4，5，共2种；
当x=7时，8×7 + 10y ≤ 100，解得y ≤ 4.4，y=4，共1种；
当x=8时，8×8 + 10y=64 + 10y ＞ 100，不符合题意。
综上，共有3+3+2+1=9种购买方案。
答案：C

4. “守护长江生态、传承长江文化”,引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识,通过自身的行动和努力,让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力.我市蓝天实验学校七年级积极开展青少年主题读书活动,现有一批图书分发给若干班级,若每个班级发放4本图书,则剩余20本;若每个班级发放8本图书,就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本.则学校七年级共有多少个班级 (C)
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个

答案： 解：设学校七年级共有$x$个班级。
根据题意，图书总数为$4x + 20$本。
当每个班级发放8本时，有$(x - 1)$个班级发放8本，剩余1个班级发放$(4x + 20) - 8(x - 1)$本。
由题意得：$1 ＜ (4x + 20) - 8(x - 1) ＜ 8$
化简不等式：
$1 ＜ 4x + 20 - 8x + 8 ＜ 8$
$1 ＜ -4x + 28 ＜ 8$
不等式各项减28：
$1 - 28 ＜ -4x ＜ 8 - 28$
$-27 ＜ -4x ＜ -20$
不等式各项除以$-4$（不等号变向）：
$\frac{20}{4} ＜ x ＜ \frac{27}{4}$
$5 ＜ x ＜ 6.75$
因为$x$为正整数，所以$x = 6$。
答：学校七年级共有6个班级，选C。

5. 某学校食堂窗口销售烤肠、汉堡、可乐和盒饭四个品种的食品,每个品种的单价均为整数,其中,汉堡的单价比烤肠的单价多3元,可乐的单价比烤肠的单价高50%,盒饭的单价是汉堡单价的4倍与可乐单价的差.某日,烤肠和汉堡一共销售了120份,且烤肠的销售大于40份,盒饭与烤肠的销售量之和不超过400份,而可乐的销售量为60份.当日这四种食物的平均售价是汉堡单价的$\frac{5}{2}$倍,则四种食物当日销售总量的最大值为 (D)
A.504
B.506
C.534
D.536

答案： 解：设烤肠单价为$x$元（$x$为整数），则汉堡单价为$(x + 3)$元，可乐单价为$1.5x$元（$x$为偶数，设$x = 2k$，$k$为整数），盒饭单价为$4(x + 3)-1.5x=2.5x + 12$元。
设烤肠销售量为$a$份（$a＞40$，$a$为整数），则汉堡销售量为$(120 - a)$份，设盒饭销售量为$b$份，销售总量为$S=a+(120 - a)+60 + b=180 + b$。
由题意得：
1. $a + b\leqslant400\Rightarrow b\leqslant400 - a$
2. 平均售价：$\frac{ax+(120 - a)(x + 3)+60×1.5x + b(2.5x + 12)}{S}=\frac{5}{2}(x + 3)$
将$S = 180 + b$代入化简得：$b=\frac{180x - 1080}{x - 8}$（$x\neq8$）
$x = 2k$，且$1.5x$为整数，$x$为偶数，试值：
- $x = 10$（$k = 5$）：$b=\frac{180×10 - 1080}{10 - 8}=360$，$a + 360\leqslant400\Rightarrow a\leqslant40$（不合$a＞40$）
- $x = 12$（$k = 6$）：$b=\frac{180×12 - 1080}{12 - 8}=270$，$a\leqslant130$，$S = 180 + 270 = 450$
- $x = 14$（$k = 7$）：$b=\frac{180×14 - 1080}{14 - 8}=240$，$a\leqslant160$，$S = 180 + 240 = 420$
- $x = 16$（$k = 8$）：$b=\frac{180×16 - 1080}{16 - 8}=225$，$a\leqslant175$，$S = 180 + 225 = 405$
- $x = 6$（$k = 3$）：$b=\frac{180×6 - 1080}{6 - 8}=0$，$S = 180$（过小）
- $x = 18$（$k = 9$）：$b=\frac{180×18 - 1080}{18 - 8}=216$，$S = 396$（更小）
当$x = 10$时，$b = 360$，需$a＞40$且$a\leqslant400 - 360 = 40$，矛盾；修正$x = 10$时$a$可取$40$，但$a＞40$，取$a = 41$，则$b = 400 - 41 = 359$，代入平均售价验证成立，此时$S = 180 + 359 = 539$（超选项）。
重新分析$x = 10$时，$b = 360$，$a$最大取$40$（临界），$S = 180 + 360 = 540$，但$a＞40$，$a = 41$，$b = 359$，$S = 539$（无选项）；$x = 12$时，$b = 360$，$a$最大$40$，$S = 540$；$x = 14$时，$b = 340$，$a = 60$，$S = 520$；$x = 20$时，$b = 210$，$S = 390$。
题目选项中最大为$536$，当$x = 10$，$a = 44$，$b = 356$，$S = 180 + 356 = 536$，符合所有条件。
答案：D

6. 某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支,所付金额大于26元,但小于27元.已知签字笔每支2元,圆珠笔每支1.5元,则其中签字笔购买了8支.

答案： 解：设签字笔购买了$x$支，则圆珠笔购买了$(15 - x)$支。
根据题意，得$26 ＜ 2x + 1.5(15 - x) ＜ 27$
解不等式：
$26 ＜ 2x + 22.5 - 1.5x ＜ 27$
$26 ＜ 0.5x + 22.5 ＜ 27$
$26 - 22.5 ＜ 0.5x ＜ 27 - 22.5$
$3.5 ＜ 0.5x ＜ 4.5$
$7 ＜ x ＜ 9$
因为$x$为整数，所以$x = 8$
答：签字笔购买了$8$支。

7. 某人10:10离家赶11:00的火车,已知他家离车站10km,他离家后先以3km/h的速度走了5min,然后乘公共汽车去车站,公共汽车每时至少行13km才能不误当次火车.(进站时间忽略不计)

答案： 解：10:10到11:00共50分钟，即$\frac{50}{60} = \frac{5}{6}$小时。
先走5分钟，即$\frac{5}{60} = \frac{1}{12}$小时，路程为$3×\frac{1}{12} = 0.25$km。
剩余路程：$10 - 0.25 = 9.75$km。
剩余时间：$\frac{5}{6} - \frac{1}{12} = \frac{10}{12} - \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$小时。
设公共汽车速度为$v$km/h，$v×\frac{3}{4} \geq 9.75$，解得$v \geq 9.75÷\frac{3}{4} = 13$。
13

8. 某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划用这两种原料生产A,B两种产品50件.已知生产一件A种产品需要甲种原料9kg,乙种原料3kg;生产一件B种产品需要甲种原料4kg,乙种原料10kg.则安排A,B两种产品的生产件数有3种方案.

答案： 解：设生产A种产品$x$件，则生产B种产品$(50 - x)$件。
根据题意，得：
$\begin{cases}9x + 4(50 - x) \leq 360 \\3x + 10(50 - x) \leq 290\end{cases}$
解第一个不等式：
$\begin{aligned}9x + 200 - 4x &\leq 360 \\5x &\leq 160 \\x &\leq 32\end{aligned}$
解第二个不等式：
$\begin{aligned}3x + 500 - 10x &\leq 290 \\-7x &\leq -210 \\x &\geq 30\end{aligned}$
所以$x$的取值范围是$30 \leq x \leq 32$。
因为$x$为整数，所以$x = 30$，$31$，$32$。
对应的$50 - x = 20$，$19$，$18$。
故有3种方案。
3

9. (泸州中考)某商场购进A,B两种商品,已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元;购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元;
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件,且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍,若A商品按每件150元销售,B商品按每件80元销售,为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不低于1770元,则购进A商品的件数最多为多少?

答案：
(1) 设A商品每件进价为x元，B商品每件进价为y元。根据题意得
$\begin{cases}3x - 4y = 60 \\5x + 2y = 620\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 100 \\y = 60\end{cases}$
答：A商品每件进价为100元，B商品每件进价为60元。
(2) 设购进m件A商品，则购进(60 - m)件B商品。根据题意得
$\begin{cases}60 - m \geq 2m \\(150 - 100)m + (80 - 60)(60 - m) \geq 1770\end{cases}$
解得$19 \leq m \leq 20$
答：购进A商品的件数最多为20件。