《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

11. 定义一种运算：$a*b= \left\{\begin{array}{l} a(a≥b),\\ b(a＜b),\end{array} \right. 则不等式(2x+1)*(2-x)＞3$的解集是 (C)
A.$x＞1或x＜\frac {1}{3}$
B.$-1＜x＜\frac {1}{3}$
C.$x＞1或x＜-1$
D.$x＞\frac {1}{3}或x＜-1$

答案： 解：由定义知，$a*b$取$a$、$b$中的较大值。
情况1：当$2x + 1 \geq 2 - x$，即$x \geq \frac{1}{3}$时
此时$(2x + 1)*(2 - x) = 2x + 1$，不等式为：
$2x + 1 ＞ 3$
解得$x ＞ 1$
结合前提$x \geq \frac{1}{3}$，得$x ＞ 1$
情况2：当$2x + 1 ＜ 2 - x$，即$x ＜ \frac{1}{3}$时
此时$(2x + 1)*(2 - x) = 2 - x$，不等式为：
$2 - x ＞ 3$
解得$x ＜ -1$
结合前提$x ＜ \frac{1}{3}$，得$x ＜ -1$
综上，解集为$x ＞ 1$或$x ＜ -1$。
答案：C

12. 某班级奖励“德、智、体、美、劳”五育表现优异的学生,计划用不超过100元购买A,B两种笔记本作为奖品,A种笔记本每本8元,B种笔记本每本10元,每种笔记本至少买4本,则购买方案有 (C)
A.7种
B.8种
C.9种
D.10种

答案： 解：设购买A种笔记本x本，B种笔记本y本。
根据题意，得：
$\begin{cases}8x + 10y \leq 100 \\x \geq 4 \\y \geq 4 \\x,y为正整数\end{cases}$
由$x \geq 4$，$y \geq 4$，得$8×4 + 10×4 = 72 \leq 8x + 10y \leq 100$，即$0 \leq 8(x - 4) + 10(y - 4) \leq 28$。
设$a = x - 4$，$b = y - 4$，则$a,b \geq 0$且为整数，$8a + 10b \leq 28$，化简得$4a + 5b \leq 14$。
当$b = 0$时，$4a \leq 14$，$a \leq 3.5$，$a = 0,1,2,3$，共4种；
当$b = 1$时，$4a \leq 9$，$a \leq 2.25$，$a = 0,1,2$，共3种；
当$b = 2$时，$4a \leq 4$，$a \leq 1$，$a = 0,1$，共2种；
当$b \geq 3$时，$5b \geq 15 ＞ 14$，无解。
总方案数：$4 + 3 + 2 = 9$种。
答案：C

13. 不等式$x+2≥0$的解集是$x \geq -2$.

答案： 解：$x+2 \geq 0$
$x \geq -2$

14. 用“＞”或“＜”填空：若$a＜b＜0$,则$-\frac {a}{5}$＞$-\frac {b}{5}$；$2a-1$＜$2b-1$.

答案： 解：因为$a ＜ b ＜ 0$，所以$-a ＞ -b$，两边同时除以$5$，得$-\frac{a}{5} ＞ -\frac{b}{5}$；
因为$a ＜ b$，两边同时乘以$2$，得$2a ＜ 2b$，两边同时减$1$，得$2a - 1 ＜ 2b - 1$。
$＞$；$＜$

15. 不等式$7x+5＜5x+1$的解集为$x＜-2$.

答案： 解：$7x + 5 ＜ 5x + 1$
$7x - 5x ＜ 1 - 5$
$2x ＜ -4$
$x ＜ -2$
$x ＜ -2$

16. 不等式组$\left\{\begin{array}{l} x-2＞0,\\ x-3＜0\end{array} \right. $的解集是2＜x＜3.

答案： 解：解不等式$x - 2 ＞ 0$，得$x ＞ 2$；
解不等式$x - 3 ＜ 0$，得$x ＜ 3$；
所以不等式组的解集是$2 ＜ x ＜ 3$。

17. 某商家花费855元购进某种水果90kg,销售中有5%的水果损耗,为确保不亏本,售价至少应定为10元/千克.

答案： 解：设售价应定为$x$元/千克。
水果损耗后剩余质量为：$90×(1 - 5\%) = 90×0.95 = 85.5$（kg）
要确保不亏本，则$85.5x \geq 855$
解得$x \geq 10$
答：售价至少应定为10元/千克。

18. 若关于x的一元一次不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac {x+3}{2}≤4,\\ 2x-a≥2\end{array} \right. $至少有2个整数解,则a的取值范围是____$a \leq 6$.

答案： 解：解不等式$\frac{x + 3}{2} \leq 4$，得$x + 3 \leq 8$，$x \leq 5$。
解不等式$2x - a \geq 2$，得$2x \geq a + 2$，$x \geq \frac{a + 2}{2}$。
所以不等式组的解集为$\frac{a + 2}{2} \leq x \leq 5$。
因为不等式组至少有2个整数解，所以整数解至少为4，5。
则$\frac{a + 2}{2} \leq 4$，解得$a + 2 \leq 8$，$a \leq 6$。
故$a$的取值范围是$a \leq 6$。

19. 关于x的不等式$m-\frac {x}{2}≤1-x$有正数解,m的值可以是____0(写出一个即可).

答案： 解：解不等式$m - \frac{x}{2} \leq 1 - x$，
移项得：$-\frac{x}{2} + x \leq 1 - m$，
合并同类项得：$\frac{x}{2} \leq 1 - m$，
两边同乘$2$得：$x \leq 2(1 - m)$。
因为不等式有正数解，所以$2(1 - m) ＞ 0$，
解得$m ＜ 2$，
则$m$的值可以是$0$。
0

20. (4分)解不等式$\frac {3x-2}{2}≤2$,并把它的解集表示在数轴上.

答案：
解：去分母，得 $ 3x - 2 \leq 4 $。移项，得 $ 3x \leq 4 + 2 $。合并同类项，得 $ 3x \leq 6 $。系数化为 1，得 $ x \leq 2 $。将不等式的解集表示在数轴上如图所示：

21. (8分)解不等式组$\left\{\begin{array}{l} 2x+1≤3,①\\ 3x-1≥x-7.②\end{array} \right. $
请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得____；
(2)解不等式②,得____；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

(4)原不等式组的解集为____.

答案：
解：（1）$ x \leq 1 $ （2）$ x \geq -3 $
（3）将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示：

（4）$ -3 \leq x \leq 1 $

22. (6分)x取哪些正整数值时,不等式$5x+2＞3(x-1)与\frac {2x-1}{3}≤\frac {3x+1}{6}$都成立？

答案： 解：根据题意，解不等式组$\begin{cases}5x + 2 ＞ 3(x - 1)① \\ \frac{2x - 1}{3} \leq \frac{3x + 1}{6}②\end{cases}$
解不等式①：
$5x + 2 ＞ 3x - 3$
$5x - 3x ＞ -3 - 2$
$2x ＞ -5$
$x ＞ -\frac{5}{2}$
解不等式②：
$2(2x - 1) \leq 3x + 1$
$4x - 2 \leq 3x + 1$
$4x - 3x \leq 1 + 2$
$x \leq 3$
所以不等式组的解集为$-\frac{5}{2} ＜ x \leq 3$，满足条件的正整数有1，2，3。