《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

11. 用适当的数或代数式填空,使所得结果仍是等式.
(1)如果$a-3= b+2$,那么$a+1= $$b + 6$；
(2)如果$\frac{1}{2}x= 5$,那么$x= $$10$.

答案：
(1) 因为 $a - 3 = b + 2$，等式两边同时加 4，得 $a - 3 + 4 = b + 2 + 4$，即 $a + 1 = b + 6$。
(2) 因为 $\frac{1}{2}x = 5$，等式两边同时乘 2，得 $x = 5×2 = 10$。
(1) $b + 6$
(2) $10$

12. 若代数式$2x与3+4x$的值相等,则$x= $$-1.5$.

答案： 解：由题意得：$2x = 3 + 4x$
移项得：$2x - 4x = 3$
合并同类项得：$-2x = 3$
系数化为1得：$x = -1.5$
$-1.5$

13. 已知$x= -2是方程5x+12= \frac{x}{2}-a$的解,则$a$的值为-3.

答案： 解：将$x = -2$代入方程$5x + 12 = \frac{x}{2} - a$，得
$5×(-2) + 12 = \frac{-2}{2} - a$
$-10 + 12 = -1 - a$
$2 = -1 - a$
$a = -1 - 2$
$a = -3$
$-3$

14. 已知关于$x$,$y的方程组\begin{cases}x+4y= 14,\\x-y= 1-2k\end{cases} $有正整数解,则$k$的值为$-4$或$-\frac{3}{2}$或$1$.

答案： 解：解方程组$\begin{cases}x + 4y=14 \\x - y=1 - 2k\end{cases}$，
由$x + 4y=14$得$x=14 - 4y$，
将$x=14 - 4y$代入$x - y=1 - 2k$，
得$14 - 4y - y=1 - 2k$，
$14 - 5y=1 - 2k$，
$-5y=1 - 2k - 14$，
$-5y=-13 - 2k$，
$y=\frac{13 + 2k}{5}$，
则$x=14 - 4×\frac{13 + 2k}{5}=\frac{70 - 52 - 8k}{5}=\frac{18 - 8k}{5}$，
因为方程组有正整数解，所以$x＞0$，$y＞0$且为正整数，
$y=\frac{13 + 2k}{5}$为正整数，设$13 + 2k=5m$（$m$为正整数），则$2k=5m - 13$，$k=\frac{5m - 13}{2}$，
$x=\frac{18 - 8k}{5}=\frac{18 - 8×\frac{5m - 13}{2}}{5}=\frac{18 - 4(5m - 13)}{5}=\frac{18 - 20m + 52}{5}=\frac{70 - 20m}{5}=14 - 4m$，
$x=14 - 4m＞0$，则$14 - 4m＞0$，$4m＜14$，$m＜3.5$，
$m$为正整数，所以$m=1$，$2$，$3$，
当$m=1$时，$k=\frac{5×1 - 13}{2}=\frac{5 - 13}{2}=-4$，
当$m=2$时，$k=\frac{5×2 - 13}{2}=\frac{10 - 13}{2}=-\frac{3}{2}$，
当$m=3$时，$k=\frac{5×3 - 13}{2}=\frac{15 - 13}{2}=1$，
综上，$k$的值为$-4$或$-\frac{3}{2}$或$1$。
答案：$-4$或$-\frac{3}{2}$或$1$

15. 若关于$x$,$y的方程组\begin{cases}ax-by= 5,\\ax+by= 3\end{cases} 与关于x$,$y的方程组\begin{cases}3x-y= 1,\\4x-3y= -2\end{cases} $有相同的解,则$a= $4,$b= $$-\frac{1}{2}$.

答案： 解：解方程组$\begin{cases}3x - y = 1 \\4x - 3y = -2\end{cases}$，
由$3x - y = 1$得$y = 3x - 1$，
将$y = 3x - 1$代入$4x - 3y = -2$，
得$4x - 3(3x - 1) = -2$，
$4x - 9x + 3 = -2$，
$-5x = -5$，
$x = 1$，
将$x = 1$代入$y = 3x - 1$，得$y = 2$。
将$\begin{cases}x = 1 \\y = 2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax - by = 5 \\ax + by = 3\end{cases}$，
得$\begin{cases}a - 2b = 5 \\a + 2b = 3\end{cases}$，
两式相加：$2a = 8$，$a = 4$，
将$a = 4$代入$a - 2b = 5$，得$4 - 2b = 5$，$-2b = 1$，$b = -\frac{1}{2}$。
$a = 4$，$b = -\frac{1}{2}$

16. 某旅馆的客房有三人间和两人间两种,三人间每人每天25元,两人间每人每天35元. 一个79人的旅游团到该旅馆住宿,租住了若干间客房,且每个客房正好住满,一天共花去住宿费2315元. 设该旅游团租住三人间客房$x$间,两人间客房$y$间,请列出满足题意的方程组：$\begin{cases} 3x + 2y = 79 \\ 3×25x + 2×35y = 2315 \end{cases}$.

答案： 解：根据题意，得
$\begin{cases} 3x + 2y = 79 \\ 3×25x + 2×35y = 2315 \end{cases}$

17. (9分)解下列方程(组)：
(1)$\frac{2x-1}{4}= 1-\frac{7-5x}{12}$；
(2)$\begin{cases}x= y-2,\\3x+2y= -1;\end{cases} $
(3)$\begin{cases}2x+6y+3z= 6,\\3x+15y+7z= 6,\\4x-9y+4z= 9.\end{cases} $

答案：
(1)解：去分母，得$3(2x-1)=12-(7-5x)$
去括号，得$6x-3=12-7+5x$
移项，得$6x-5x=12-7+3$
合并同类项，得$x=8$
(2)解：将$x=y-2$代入$3x+2y=-1$，得
$3(y-2)+2y=-1$
去括号，得$3y-6+2y=-1$
合并同类项，得$5y=5$
解得$y=1$
将$y=1$代入$x=y-2$，得$x=-1$
$\therefore \begin{cases} x=-1 \\ y=1 \end{cases}$
(3)解：$\begin{cases}2x+6y+3z=6① \\3x+15y+7z=6② \\4x-9y+4z=9③\end{cases}$
$①×2-③$，得$21y+2z=3④$
$①×3-②×2$，得$-12y-5z=6⑤$
$④×5+⑤×2$，得$81y=27$，解得$y=\frac{1}{3}$
将$y=\frac{1}{3}$代入④，得$21×\frac{1}{3}+2z=3$，解得$z=-2$
将$y=\frac{1}{3},z=-2$代入①，得$2x+6×\frac{1}{3}+3×(-2)=6$，解得$x=5$
$\therefore \begin{cases} x=5 \\ y=\frac{1}{3} \\ z=-2 \end{cases}$

18. (8分)已知关于$x的方程\frac{x-m}{2}= x+\frac{m}{3}与\frac{x+1}{2}= 3x-2$的解互为相反数,求$m$的值.

答案： 解：解方程$\frac{x - m}{2} = x + \frac{m}{3}$，
两边同乘6得：$3(x - m) = 6x + 2m$，
去括号得：$3x - 3m = 6x + 2m$，
移项得：$3x - 6x = 2m + 3m$，
合并同类项得：$-3x = 5m$，
系数化为1得：$x = -\frac{5}{3}m$。
解方程$\frac{x + 1}{2} = 3x - 2$，
两边同乘2得：$x + 1 = 6x - 4$，
移项得：$x - 6x = -4 - 1$，
合并同类项得：$-5x = -5$，
系数化为1得：$x = 1$。
因为两个方程的解互为相反数，所以$-\frac{5}{3}m + 1 = 0$，
解得：$m = \frac{3}{5}$。
答：$m$的值为$\frac{3}{5}$。

19. (8分)已知方程组$\begin{cases}2x+y= 7,\\x= y-1\end{cases} 的解也是关于x$,$y的方程ax+y= 4$的一个解,求$a$的值.

答案： 解：解方程组$\begin{cases}2x + y = 7 ①, \\ x = y - 1 ②, \end{cases}$
把②代入①，得$2(y - 1) + y = 7$，
$2y - 2 + y = 7$，
$3y = 9$，
解得$y = 3$。
把$y = 3$代入②，得$x = 3 - 1 = 2$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$
把$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$代入方程$ax + y = 4$，
得$2a + 3 = 4$，
$2a = 1$，
解得$a = \frac{1}{2}$。