《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

某校组织学生乘汽车去三星堆博物馆开展研学实践活动,路途有两种方案选择：
| |方案一：省道|方案二：高速公路|
|路程|100km|130km|
|优缺点分析|路途短；但路上货车多,影响速度,用时比方案二多30min.|路途长；但是速度快,平均速度是方案一的1.8倍.|
问：方案二需要的时间是多少分钟？
解析 设方案二需要的时间是xmin,则方案一需要的时间是$(x+30)$min,利用速度= 路程÷时间,结合方案二的平均速度是方案一的1.8倍,可列出关于x的分式方程,解之经检验后,即可得出结论.
答案 设方案二需要的时间是xmin,则方案一需要的时间是$(x+30)$min.
根据题意,得$\frac {130}{x}= \frac {100}{x+30}×1.8$,
解得$x= 78$.
经检验,$x= 78$是所列方程的解,且符合题意.
答：方案二需要的时间是78min.
点拨 本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.

答案： 【解析】：
本题主要考察分式方程的应用。
设方案二需要的时间是$x$分钟，则方案一需要的时间是$(x+30)$分钟。
根据速度=路程÷时间的公式，以及题目中给出的方案二的平均速度是方案一的1.8倍的条件，我们可以列出关于$x$的分式方程。
即，方案二的速度为$\frac{130}{x}$，方案一的速度为$\frac{100}{x+30}$，
根据题意有$\frac{130}{x} = 1.8 × \frac{100}{x+30}$，
解这个方程，我们可以得到$x$的值。
最后，我们需要检验解是否符合题意。
【答案】：
解：设方案二需要的时间是$x$分钟，则方案一需要的时间是$(x+30)$分钟。
根据题意，得$\frac{130}{x} = \frac{100}{x+30} × 1.8$，
方程两边同时乘以$x(x+30)$，得到$130(x+30) = 180x$，
展开并整理得：$130x + 3900 = 180x$，
进一步整理得：$50x = 3900$，
解得：$x = 78$。
经检验，$x = 78$是所列方程的解，且符合题意。
答：方案二需要的时间是$78$分钟。

1. 解分式方程$\frac {1}{x}-\frac {1-x}{2x}= 1$时,去分母后的结果正确的是(C)
A.$2-x-x= 1$
B.$2-1+x= 1$
C.$2-1+x= 2x$
D.$2-1-x= 2x$

答案： 解：方程两边同乘 $2x$，得
$2 - (1 - x) = 2x$
去括号，得
$2 - 1 + x = 2x$
C

2. (滨州中考)分式方程$\frac {x}{x-1}-1= \frac {3}{(x-1)(x+2)}$的解为(C)
A.$x= 1$
B.$x= -1$
C.无解
D.$x= -2$

答案： 解：方程两边同乘$(x - 1)(x + 2)$，得$x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3$。
展开并化简：$x^2 + 2x - (x^2 + 2x - x - 2) = 3$，即$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3$，解得$x = 1$。
检验：当$x = 1$时，$(x - 1)(x + 2) = 0$，所以$x = 1$是增根，原分式方程无解。
C

3. (黑龙江中考)已知关于x的分式方程$\frac {kx}{x-3}-2= \frac {3}{3-x}$无解,则k的值为(A)
A.$k= 2或k= -1$
B.$k= -2$
C.$k= 2或k= 1$
D.$k= 1$

答案： 解：方程两边同乘$x - 3$，得$kx - 2(x - 3) = -3$。
化简得$(k - 2)x + 9 = 0$。
情况1：当$k - 2 = 0$，即$k = 2$时，方程变为$0x + 9 = 0$，无解。
情况2：当$k - 2 \neq 0$时，$x = \frac{-9}{k - 2}$。若原方程无解，则$x = 3$是增根，即$\frac{-9}{k - 2} = 3$，解得$k = -1$。
综上，$k = 2$或$k = -1$。
A

4. (遂宁中考)分式方程$\frac {2}{x-1}= 1-\frac {m}{x-1}$的解为正数,则m的取值范围是(B)
A.$m＞-3$
B.$m＞-3且m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3且m≠-2$

答案： 解：方程两边同乘$x - 1$得：$2 = (x - 1) - m$
解得：$x = 3 + m$
因为方程的解为正数，所以$x ＞ 0$且$x - 1 ≠ 0$
即$3 + m ＞ 0$且$3 + m - 1 ≠ 0$
解得$m ＞ - 3$且$m ≠ - 2$
答案：B

5. (绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行120km所用时间与以该航速沿江逆流航行80km所用时间相等,则江水的流速为(D)
A.5km/h
B.6km/h
C.7km/h
D.8km/h

答案： 解：设江水的流速为$x$km/h。
顺流速度为$(40 + x)$km/h，逆流速度为$(40 - x)$km/h。
根据题意，得$\frac{120}{40 + x} = \frac{80}{40 - x}$。
交叉相乘，得$120(40 - x) = 80(40 + x)$。
化简，得$4800 - 120x = 3200 + 80x$。
移项，得$-120x - 80x = 3200 - 4800$。
合并同类项，得$-200x = -1600$。
解得$x = 8$。
经检验，$x = 8$是原方程的解，且符合题意。
答案：D