《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

例 已知$∠AOB= 90^{\circ }$,OC是从$∠AOB$的顶点O引出的一条射线,若$∠AOB= 2∠BOC$,求$∠AOC$的度数。
错解 如图,因为$∠AOB= 90^{\circ }$,$∠AOB= 2∠BOC$,所以$∠BOC= 45^{\circ }$,所以$∠AOC= ∠AOB-∠BOC= 90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$。

错因分析 射线OC需分在$∠AOB$的内部和外部两种情况。当OC在$∠AOB$的内部时,$∠AOC等于∠AOB与∠BOC$的差；当OC在$∠AOB$的外部时,$∠AOC等于∠AOB与∠BOC$的和。本题忽略了射线OC在$∠AOB$外部的情况,导致漏解。
正解 因为$∠AOB= 90^{\circ }$,$∠AOB= 2∠BOC$,所以$∠BOC= 45^{\circ }$。分以下两种情况：
①当OC在$∠AOB$的内部时(如图1),$∠AOC= ∠AOB-∠BOC= 90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$；

②当OC在$∠AOB$的外部时(如图2),$∠AOC= ∠AOB+∠BOC= 90^{\circ }+45^{\circ }=135^{\circ }$。

综上所述,$∠AOC的度数为45^{\circ }或135^{\circ }$。

答案： 【解析】：
题目考查了角的计算，关键是要考虑到射线$OC$在$\angle AOB$内部和外部两种情况。
当$OC$在$\angle AOB$内部时，$\angle AOC$等于$\angle AOB$与$\angle BOC$的差；当$OC$在$\angle AOB$外部时，$\angle AOC$等于$\angle AOB$与$\angle BOC$的和。
【答案】：
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOB = 2\angle BOC$，所以$\angle BOC = 45^{\circ}$。
分以下两种情况：
①当$OC$在$\angle AOB$的内部时（如图1），$\angle AOC=\angle AOB - \angle BOC = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$；
②当$OC$在$\angle AOB$的外部时（如图2），$\angle AOC=\angle AOB + \angle BOC = 90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$。
综上所述，$\angle AOC$的度数为$45^{\circ}$或$135^{\circ}$。