《2025年假期伴你行暑假合肥工业大学出版社七年级数学沪科版》

26. (4分)已知$2 a - 1的平方根是\pm 3 , 3 a + b - 1$的算术平方根是4,求$50 a - 17 b$的立方根。

答案： 解：因为$2a - 1$的平方根是$\pm 3$，所以$2a - 1 = (\pm 3)^2 = 9$，解得$a = 5$。
因为$3a + b - 1$的算术平方根是$4$，所以$3a + b - 1 = 4^2 = 16$。将$a = 5$代入，得$3×5 + b - 1 = 16$，即$15 + b - 1 = 16$，解得$b = 2$。
所以$50a - 17b = 50×5 - 17×2 = 250 - 34 = 216$。
因为$216$的立方根是$\sqrt[3]{216} = 6$，所以$50a - 17b$的立方根是$6$。

27. (5分)如图,一只蚂蚁从点$A$沿数轴向右爬2个单位长度到达点$B$,点$A表示- \sqrt { 2 }$,设点$B所表示的数为m$。

(1)求$m$的值；
(2)求$| m - 1 |$的值。

答案： 解：
(1) 因为蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示$-\sqrt{2}$，所以$m = -\sqrt{2} + 2$。
(2) 由
(1)知$m = -\sqrt{2} + 2$，则$|m - 1| = |-\sqrt{2} + 2 - 1| = |-\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} - 1$。

28. (6分)我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”。例如：-18,-2,-8这三个数,$\sqrt { ( - 18 ) × ( - 2 ) } = 6 , \sqrt { ( - 18 ) × ( - 8 ) } = 12 , \sqrt { ( - 8 ) × ( - 2 ) } = 4$,其结果6,12,4都是整数,所以-18,-2,-8这三个数称为“完美组合数”。
(1)-9,-4,-1这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
(2)若三个数-6,-24,$a$是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为24.求$a$的值。

答案：
(1) 是，理由如下：
$\sqrt{(-9)×(-4)}=\sqrt{36}=6$，$\sqrt{(-9)×(-1)}=\sqrt{9}=3$，$\sqrt{(-4)×(-1)}=\sqrt{4}=2$，
6，3，2都是整数，所以-9，-4，-1是“完美组合数”。
(2) 分两种情况：
① 若$\sqrt{(-6)×a}=24$，则$(-6)×a=24^2=576$，解得$a=-96$。
验证：$\sqrt{(-6)×(-24)}=12$，$\sqrt{(-24)×(-96)}=48$，12，24，48都是整数，符合题意。
② 若$\sqrt{(-24)×a}=24$，则$(-24)×a=24^2=576$，解得$a=-24$，与-24重复，舍去。
综上，$a=-96$。

29. (9分)阅读下面的文字,解答问题：
大家知道$\sqrt { 2 }$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt { 2 }$的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用$\sqrt { 2 } - 1来表示\sqrt { 2 }$的小数部分。因为$\sqrt { 2 }$的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分。
请解答：
(1)$\sqrt { 17 }$的整数部分是4,小数部分是$\sqrt{17}-4$；
(2)如果$\sqrt { 5 }的小数部分为a , \sqrt { 13 }的整数部分为b$,求$a + b - \sqrt { 5 }$的值；
解：因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$a=\sqrt{5}-2$。
因为$3＜\sqrt{13}＜4$，所以$b=3$。
所以$a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$。
(3)已知$10 + \sqrt { 3 } = x + y$,其中$x$是整数,且$0 ＜ y ＜ 1$,求$x - y$的相反数。
解：因为$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$11＜10+\sqrt{3}＜12$。
因为$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，所以$x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
所以$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，所以$x-y$的相反数是$-12+\sqrt{3}$。

答案：
(1) 4；$\sqrt{17}-4$
(2) 解：因为$2＜\sqrt{5}＜3$，所以$a=\sqrt{5}-2$。
因为$3＜\sqrt{13}＜4$，所以$b=3$。
所以$a+b-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$。
(3) 解：因为$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，所以$11＜10+\sqrt{3}＜12$。
因为$10+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是整数，且$0＜y＜1$，所以$x=11$，$y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$。
所以$x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$，所以$x-y$的相反数是$-12+\sqrt{3}$。