《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社八年级数学》

11. 如图4,已知在矩形$ABCD$中,$R$,$P分别是DC$,$BC$边上的点,$E$,$F分别是AP$,$RP$的中点.当点$P在BC上从点B向点C移动而点R$不动时,下列结论成立的是 ( )

A.线段$EF$的长逐渐增大
B.线段$EF$的长逐渐减小
C.线段$EF$的长不改变
D.线段$EF$的长先增大后减小

答案： C

12. 如图5,一个平行四边形被$AB$,$CD分成面积为S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$,$S_{4}$的四个小平行四边形,当$CD沿AB$自左向右在平行四边形内平行滑动时,$S_{1}\cdot S_{4}与S_{2}\cdot S_{3}$的大小关系是______.

答案： 相等

13. 如图6,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$D$,$E分别为AB$,$BC$的中点,点$F在AC$的延长线上,$\angle FEC= \angle B$.
(1)求证:$CF= DE$;
(2)若$AC= 6$,$AB= 10$,求四边形$DCFE$的面积.

答案：
(1)略
(2)$S_{\text{四边形}DCFE}=12$

14. 如图7,在$□ ABCD$中,$\angle ABC的平分线BE交AD于点E$,$\angle BCD的平分线CF交AD于点F$,交$BE于点G$,$AD= 6$,$EF= 3$.求$AF$的长度.

答案： $\frac{3}{2}$

15. 如图8,在平行四边形$ABCD$中,点$E$,$F分别在BC$,$AD$上,$BE= DF$,$AC= EF$.
(1)求证:四边形$AECF$是矩形;
(2)若$CE= 2BE$,且$AE= BE$,$AB= 2$,求$AC$的长.

答案：
(1)略
(2)$\sqrt{10}$