《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社八年级数学》

1. 下列以$a,b,c$为边的三角形中,不是直角三角形的是 ( )

A.$a = 1.5,b = 2,c = 3$
B.$a = 7,b = 24,c = 25$
C.$a = 6,b = 8,c = 10$
D.$a = 3,b = 4,c = 5$

答案： A

2. 下列各组数中,是勾股数的是 ( )

A.$0.3,0.4,0.5$
B.$\frac{3}{5},\frac{4}{5},1$
C.$4,5,6$
D.$8,15,17$

答案： D

3. 如图1,明明早晨去散步,从$A到B$走了41米,从$B到C$走了40米,从$C到A$走了9米,则$\angle A+\angle B$的度数是______.

答案： 90°

4. 若一个直角三角尺的两直角边长分别为12cm和5cm,不移动三角尺,能画出的最长线段是______cm.

答案： 13

5. 若一个直角三角形的三边长为连续整数,则它的各边长分别为______.

答案： 3,4,5

6. 一艘轮船以30km/h的速度离开港口向东北方向航行,另一艘轮船同时离开港口以16km/h的速度向东南方向航行.半小时后,它们相距______km.

答案： $\frac {1+\sqrt {3}}{2}$

7. 如图2,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 45^{\circ},AC= \sqrt{2},\angle A = 105^{\circ}$,求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)$CD=\frac {12}{5},AD=\frac {16}{5}$
(2)$\triangle ABC$为直角三角形,理由略.

8. 如图3,在$\triangle ABC$中,$CD\perp AB于点D,AC = 4,BC = 3,DB= \frac{9}{5}$.
(1)求$CD,AD$的长度;
(2)判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由.

答案： 【解析】：
(1)要求$CD$和$AD$的长度，我们可以在直角三角形$BCD$和$ACD$中分别利用勾股定理来求解。
在直角三角形$BCD$中，已知$BC = 3$，$DB = \frac{9}{5}$，根据勾股定理，我们可以求出$CD$的长度。
同样，在直角三角形$ACD$中，已知$AC = 4$，利用刚才求得的$CD$的长度，再次应用勾股定理，可以求出$AD$的长度。
(2)要判断$\triangle ABC$的形状，我们可以先求出$AB$的长度，然后利用勾股定理的逆定理来判断。
已知$AD$和$DB$的长度，相加即可得到$AB$的长度。
再利用勾股定理的逆定理，判断$AC^2 + BC^2$是否等于$AB^2$，从而确定$\triangle ABC$的形状。
【答案】：
(1)在$Rt \bigtriangleup BCD$中，
$CD = \sqrt{BC^{2} - BD^{2}} = \sqrt{3^{2} - \left(\frac{9}{5}\right)^{2}} = \frac{12}{5}$
在$Rt \bigtriangleup ACD$中，
$AD = \sqrt{AC^{2} - CD^{2}} = \sqrt{4^{2} - \left(\frac{12}{5}\right)^{2}} = \frac{16}{5}$
(2)$\triangle ABC$是直角三角形。理由如下：
因为$AD = \frac{16}{5}$，$BD = \frac{9}{5}$，
所以$AB = AD + BD = \frac{16}{5} + \frac{9}{5} = 5$
因为$AC = 4$，$BC = 3$，
所以$AC^{2} + BC^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25$，
又因为$AB^{2} = 5^{2} = 25$，
所以$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，
所以$\angle ACB = 90{^\circ}$，
所以$\triangle ABC$是直角三角形。