《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社八年级数学》

11. 如果 $ \sqrt [ b - a ] { 3 b } $ 和 $ \sqrt { 2 b - a + 2 } $ 是被开方数相同的最简二次根式,那么( )

A.$ a = 0 $,$ b = 2 $
B.$ a = 2 $,$ b = 0 $
C.$ a = - 1 $,$ b = 1 $
D.$ a = 1 $,$ b = - 2 $

答案： A

12. 已知三角形的两边长分别为 3 和 5,第三边长为 $ c $,化简：$ \sqrt { c ^ { 2 } - 4 c + 4 } - \sqrt { \frac { 1 } { 4 } c ^ { 2 } - 4 c + 16 } = $______。

答案： $\frac{3}{2}c - 6$

13. 使 $ \sqrt { ( 3 - a ) ( a + 1 ) } = \sqrt { 3 - a } \cdot \sqrt { a + 1 } $ 成立的所有整数 $ a $ 的和是______。

答案： 5

14. 形如 $ \sqrt { m \pm 2 \sqrt { n } } $ 的化简,只要我们找到两个数 $ a $,$ b ( a ＞ b ＞ 0 ) $,使 $ a + b = m $,$ a b = n $,这样 $ ( \sqrt { a } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { b } ) ^ { 2 } = m $,$ \sqrt { a } \cdot \sqrt { b } = \sqrt { n } $,于是 $ \sqrt { m \pm 2 \sqrt { n } } = \sqrt { ( \sqrt { a } \pm \sqrt { b } ) ^ { 2 } } = \sqrt { a } \pm \sqrt { b } $。
举例：化简 $ \sqrt { 8 + 2 \sqrt { 15 } } $。
解：这里 $ m = 8 $,$ n = 15 $。
$ \because 3 + 5 = 8 $,$ 3 × 5 = 15 $,
即 $ ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } = 8 $,$ \sqrt { 3 } × \sqrt { 5 } = \sqrt { 15 } $,
$ \therefore \sqrt { 8 + 2 \sqrt { 15 } } = \sqrt { ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { 3 } + \sqrt { 5 } $。
用上述例题的方法化简下列各式：
(1) $ \sqrt { 7 + 2 \sqrt { 10 } } $；
(2) $ \sqrt { 9 - 4 \sqrt { 2 } } $。

答案：
(1)$\sqrt{2}+\sqrt{5}$
(2)$2\sqrt{2}-1$

15. 我们知道两个数的和为 2,这两个数的平均数为 1,按照这样简单的数学知识,我们给出一个新的数学概念,若 $ a + b = 2 $,则 $ a $ 与 $ b $ 的平均数是 1,我们称 $ a $ 与 $ b $ 是关于 1 的平衡数。例：3 与 $ - 1 $ 是关于 1 的平衡数。根据以上材料,解答下列问题：
(1) 4 与______是关于 1 的平衡数；$ 5 - \sqrt { 2 } $ 与______是关于 1 的平衡数；
(2) 若 $ ( m + \sqrt { 3 } ) ( 1 - \sqrt { 3 } ) = - 5 + 3 \sqrt { 3 } $,试判断 $ m + \sqrt { 3 } $ 与 $ 5 - \sqrt { 3 } $ 是不是关于 1 的平衡数。

答案：
(1)-2 $-3+\sqrt{2}$
(2)不是

16. 如图 3,从一张面积为 $ 80 \mathrm { cm } ^ { 2 } $ 的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为 $ 5 \mathrm { cm } ^ { 2 } $ 的小正方形,将剩余部分制成一个无盖的长方体盒子。
(1) 原来大正方形的边长为______$ \mathrm { cm } $,剪掉的小正方形的边长为______$ \mathrm { cm } $；
(2) 求这个长方体盒子的底面边长和体积(参考数据：$ \sqrt { 2 } \approx 1.41 $,$ \sqrt { 3 } \approx 1.73 $,$ \sqrt { 5 } \approx 2.24 $)。

答案：
(1)$4\sqrt{5}$ $\sqrt{5}$
(2)这个长方体盒子的底面边长约为 4.48 cm，体积约为 44.8 cm³.