《2025年桂壮红皮书暑假天地河北少年儿童出版社八年级数学》

9. 如图 5 是一个棱长为 60 cm 的立方体 $ ABCD - EFGH $,一只甲虫在 $ EF $ 边上,且距 $ F $ 点 10 cm 的 $ P $ 处,它要爬到顶点 $ D $,需要爬行的最短距离是 ( )


A.130 cm
B.$ 10\sqrt{157} $ cm
C.$ 10\sqrt{97} $ cm
D.不确定

答案： B

10. 已知线段的长为 $ a $,作长为 $ \sqrt{13}a $ 的线段时,只要分别以长为______和______的线段为直角边作直角三角形,则这个直角三角形的斜边长就为 $ \sqrt{13}a $.

答案： 答案不唯一,如2a 3a

11. 已知 $ |x - 12|+(y - 13)^{2} $ 和 $ z^{2}-10z + 25 $ 互为相反数,则以 $ x,y,z $ 为三边长的三角形是______三角形.

答案： 直角

12. 如图 6,在四边形 $ ABCD $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ BD $ 平分 $ \angle ABC,AD = 3 $, $ E $ 为 $ AB $ 上一点, $ AE = 4,ED = 5 $. 求证: $ AD = CD $.

答案： 证明：在△AED中，AD=3，AE=4，ED=5
∵3²+4²=5²，即AD²+AE²=ED²
∴△AED是直角三角形，∠A=90°，即DA⊥AB
过点D作DF⊥BC于点F
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，即DF=CD
∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DF⊥BC
∴DA=DF
∵DA=DF且DF=CD
∴AD=CD

13. 某医院为了方便病人进出,将门诊大厅的门改为自动感应门,感应门上方装有一个最大感应距离为 2.6 米的感应器 $ D $. 如图 7,一个身高为 1.6 米的病人 $ AB $ 走到离感应门 2.4 米处时,感应门刚好自动打开,请求出感应器离地面的高度 $ CD $.

答案： 2.6米

14. 如图 8 是一种“牛头形”图案,其作法是从正方形(1)开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,再以其直角边为边,向外作正方形(2)和(2)'. 依次类推,若正方形(1)的边长为 64 cm,试推测正方形(7)的边长.

答案： 8 cm