《2025年暑假作业本大象出版社七年级数学华师大版》

12. 在学完三角形的内、外角后,教师要求同学们根据所学的知识设计一个利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”求解的问题.
如图 8 - 30,在$△ABC$中,$∠1= ∠2= ∠3$.
(1)试说明:$∠BAC= ∠DEF;$
(2)若$∠BAC= 70^{\circ },∠DFE= 50^{\circ }$,求$∠ABC$的度数.

答案：
(1)
∵ $ ∠DEF $ 是 $ △ACE $ 的外角,
∴ $ ∠DEF = ∠3 + ∠CAE $.
∵ $ ∠1 = ∠3 $,
∴ $ ∠DEF = ∠1 + ∠CAE = ∠BAC $,
即 $ ∠BAC = ∠DEF $.
(2)
∵ $ ∠DFE $ 是 $ △BCF $ 的外角,
∴ $ ∠DFE = ∠2 + ∠BCF $.
∵ $ ∠2 = ∠3 $,
∴ $ ∠DFE = ∠3 + ∠BCF $,
即 $ ∠DFE = ∠ACB $.
∵ $ ∠BAC = 70 ^ { \circ } $, $ ∠DFE = 50 ^ { \circ } $,
∴ 在 $ △ABC $ 中, $ ∠ABC = 180 ^ { \circ } - ∠BAC - ∠ACB = 180 ^ { \circ } - 70 ^ { \circ } - 50 ^ { \circ } = 60 ^ { \circ } $.